2012-辽宁卷文-03 单-复数除法

本题导读

本题考查复数的除法运算。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 复数 $\frac{1}{1+\mathrm{i}}=$()

A. $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　　　　B. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$　　　　　C. $1-\mathrm{i}$　　　　　D. $1+\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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$\frac{1}{1+\mathrm{i}}=\frac{1-\mathrm{i}}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$，故选 A

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\frac{1}{1+\mathrm{i}}=\frac{1-\mathrm{i}}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{1-\mathrm{i}}{1^2+1^2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法（分母实数化）

核心方法：分子分母同乘共轭复数 $(1-\mathrm{i})$，利用 $(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=2$ 化简

避坑指南：除法的本质是分母实数化，结果是 $\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\mathrm{i}$ 而不是 $1-\mathrm{i}$（忘除以分母 $2$ 是最常见错误）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法运算题，与 2012 年山东卷文第 1 题、2012 年天津卷文第 1 题同族。

结论推广：$\frac{1}{1+\mathrm{i}}=\frac{1-\mathrm{i}}{2}$，$\frac{1}{1-\mathrm{i}}=\frac{1+\mathrm{i}}{2}$；$\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$ 也建议直接记住。

方法推广：复数除法一律”同乘共轭、分母实数化”，写成分母为正实数的形式再拆实虚部。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-天津卷文-01 单-复数除法运算
• 2012-新课标卷文-02 单-复数的除法运算