2012-山东卷文-01 单-复数除法运算

本题导读

本题考查复数的除法运算。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 若复数 $z$ 满足 $z(2-i)=11+7i$（$i$ 为虚数单位），则 $z$ 为()

A. $3+5i$　　　　　B. $3-5i$　　　　　C. $-3+5i$　　　　　D. $-3-5i$

🔍【思路分析】

破题导航

$z=\frac{11+7i}{2-i}$，分子分母同乘 $2+i$，得 $\frac{15+25i}{5}=3+5i$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $z(2-i)=11+7i$ 得 $z=\frac{11+7i}{2-i}$。

分子分母同乘 $2+i$：$z=\frac{(11+7i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{22+11i+14i+7i^2}{5}=\frac{15+25i}{5}=3+5i$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：复数的除法运算（分母实数化）

核心方法：先把所求量化为除法式，再分子分母同乘分母的共轭复数

避坑指南：$(2-i)(2+i)=c^2+d^2=4+1=5$，是模的平方而非 $4-1$；$7i^2=-7$，别忘把实部减去 $7$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数除法入口题，与 2013 年山东卷理第 1 题、2014 年山东卷文第 1 题同族。

结论推广：$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。

方法推广：复数除法两步走：同乘共轭使分母实数化，再合并实部与虚部。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-01 单-复数相等与乘方
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-新课标I卷文-02 单-复数除法