2012-辽宁卷文-07 单-圆过圆心直线

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及过圆心的直线平分圆。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 将圆 $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ 平分的直线是()

A. $x+y-1=0$　　　B. $x+y+3=0$　　　C. $x-y+1=0$　　　D. $x-y+3=0$

🔍【思路分析】

破题导航

圆心为 $(1,2)$；只有 $x-y+1=1-2+1=0$ 过圆心，故选 C

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

配方得 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=4$，圆心为 $(1,2)$。

一条直线平分圆（即平分圆的每一条弦、也平分圆面）当且仅当该直线过圆心。

逐项代入 $(1,2)$：

（A）$1+2-1=2\ne 0$，不过圆心；（B）$1+2+3=6\ne 0$，不过圆心；

（C）$1-2+1=0$，过圆心；（D）$1-2+3=2\ne 0$，不过圆心。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的一般方程化标准方程；直线平分圆的条件（过圆心）

核心方法：化标准方程得圆心，再把圆心坐标代入各选项检验

避坑指南：“平分圆”指的是过圆心，不是与圆相切也不是被圆平分；圆心是 $(1,2)$，代入时 $x$、$y$ 别代反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与直线位置关系（过圆心）题，与 2013 年江西卷文第 14 题、2013 年新课标Ⅱ文第 20 题的知识背景同族。

结论推广：过圆心的直线（直径所在直线）把圆平分；圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心为 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。

方法推广：涉及”平分圆""最大弦”等说法，第一步都化为”过圆心”，再用代入法筛选选项。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.03 点与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切
• 2013-江苏卷-17 解-圆的方程
• 2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹