2013-江西卷文-14 填-圆的方程相切

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2013年江西卷(文)） 若圆 $C$ 经过坐标原点和点 $(4,0)$，且与直线 $y=1$ 相切，则圆 $C$ 的方程是 　　.

🔍【思路分析】

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1. 圆心 $(2,b)$，$r^2=4+b^2$。
2. 相切：$(b-1{)}^2=4+b^2$ → $b=-\frac{3}{2}$。
3. $r^2=\frac{25}{4}$；$(x-2{)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$。

✅【答案】

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${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $C$ 过 $(0,0)$ 与 $(4,0)$，两点的垂直平分线为 $x=2$，故圆心为 $(2,b)$，半径 $r^2=(2-0{)}^2+(b-0{)}^2=4+b^2.$ 与直线 $y=1$ 相切：圆心到直线的距离等于半径 $|b-1|=\sqrt{4+b^2}\Rightarrow (b-1{)}^2=4+b^2\Rightarrow -2b+1=4\Rightarrow b=-\frac{3}{2}.$ 此时 $r^2=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$。 所求圆的方程为 $(x-2{)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}.$ 验证：过原点：$4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$ ✓；过 $(4,0)$ 同理 ✓；圆心 $(2,-\frac{3}{2})$ 到 $y=1$ 距离 $\frac{5}{2}=r$ ✓。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的标准方程（过两点 + 与直线相切）

核心方法：圆心在 $x=2$ 上：设 $(2,b)$；$r^2=4+b^2$，$|b-1|=r$ → $(b-1{)}^2=4+b^2$ → $b=-\frac{3}{2}$，$r^2=\frac{25}{4}$；圆：${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{25}{4}$

避坑指南：与直线 $y=1$ 相切用 $d=r$，即 $|b-1|$（绝对值）；平方去绝对值时 $(b-1{)}^2=r^2$ 展开后 $b^2$ 消掉，一次方程定 $b$——圆心在线 $x=2$ 上是”过 $(0,0)$ 与 $(4,0)$“的对称性红利，先取再用，少一个未知数。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的标准方程（待定系数 + 相切条件）。

结论推广：对称性定圆心横坐标；点到直线距离 = 半径。

方法推广：圆心设 $(2,b)$ → $r^2=4+b^2$ → 相切列 $|b-1|=r$ → 解 $b$、$r$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷文-20 解-圆的方程与轨迹
• 2013-福建卷文-20 解-抛物线与圆
• 2013-安徽卷文-21 解-椭圆切线唯一性