2012-辽宁卷文-21 解-导数放缩证不等式

本题导读

本题考查对数与根式的放缩。核心在于比较法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） 设 $f(x)=\ln x+\sqrt{x}-1$，证明：

(1)当 $x>1$ 时，$f(x)<\frac{3}{2}(x-1)$；

(2)当 $1<x<3$ 时，$f(x)<\frac{9(x-1)}{x+5}$.

🔍【思路分析】

破题导航

（1）$f(x)<(x-1)+\frac{x-1}{2}=\frac{3}{2}(x-1)$；（2）令 $t=\sqrt{x}\in (1,\sqrt{3})$，$f(x)<3(t-1)⩽\frac{9(t^2-1)}{t^2+5}$，末步等价于 $(t-1)(t-2)⩽0$。

✅【答案】

点击查看答案

(1)、(2)所证不等式均成立，证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

先证两个基本放缩：当 $u>0$ 且 $u\ne 1$ 时，$\ln u<u-1$（$\ln u$ 的图象在切线 $u-1$ 下方）；当 $u>0$ 且 $u\ne 1$ 时，$\sqrt{u}<\frac{u+1}{2}$（均值不等式），即 $\sqrt{u}-1<\frac{u-1}{2}$。

（1）当 $x>1$ 时，

$f(x)=\ln x+\sqrt{x}-1<(x-1)+\frac{x-1}{2}=\frac{3}{2}(x-1)$。

（2）设 $t=\sqrt{x}$，由 $1<x<3$ 得 $1<t<\sqrt{3}$。

此时 $f(x)=\ln t^2+t-1=2\ln t+t-1<2(t-1)+t-1=3(t-1)$。

又 $\frac{9(x-1)}{x+5}=\frac{9(t^2-1)}{t^2+5}=\frac{9(t-1)(t+1)}{t^2+5}$，于是只需比较 $3(t-1)$ 与它：

$3(t-1)⩽\frac{9(t-1)(t+1)}{t^2+5}⟺t^2+5⩽3(t+1)⟺t^2-3t+2⩽0⟺(t-1)(t-2)⩽0$。

由 $1<t<\sqrt{3}<2$ 知上式成立（且 $t>1$ 保证 $t-1>0$），故

$3(t-1)<\frac{9(t^2-1)}{t^2+5}$（$t<2$ 时严格成立）。

综上，当 $1<x<3$ 时，$f(x)<\frac{9(x-1)}{x+5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：常用放缩不等式（$\ln u<u-1$，$\sqrt{u}<\frac{u+1}{2}$）；换元；同解变形判断两式大小

核心方法：“基本放缩 + 换元”：根式设 $t=\sqrt{x}$ 化无理为有理，再把差化积（或因式分解）定大小

避坑指南：（2）的右边 $\frac{9(x-1)}{x+5}$ 比 $\frac{3}{2}(x-1)$ 更小（$x>1$ 时 $\frac{9}{x+5}<\frac{3}{2}$），所以（1）的结论推不出（2），必须换元重新比较；比较 $3(t-1)$ 与 $\frac{9(t^2-1)}{t^2+5}$ 时约去 $t-1$ 前要说明 $t-1>0$，不等号方向才不变。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数（放缩）证明不等式题，与 2012 年山东卷文第 22 题、2012 年湖北卷文第 22 题、2012 年浙江卷文第 21 题同族。

结论推广：$\ln x⩽x-1$（$x>0$，$x=1$ 取等）是导数放缩的源头不等式；$\sqrt{x}-1<\frac{x-1}{2}$ 由均值不等式 $\sqrt{x}<\frac{x+1}{2}$ 移项即得；本题右端 $\frac{9(x-1)}{x+5}$ 在 $x=1$ 处与 $\frac{3}{2}(x-1)$ 有相同的函数值与导数值，但增长更慢。

方法推广：无理函数与对数函数混合的不等式，先换元去根号；两条”候选上界”比较大小用作差因式分解，别急着求导。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2012-山东卷文-22 解-导数单调性与不等式证明
• 2012-湖北卷文-22 解-切线与导数放缩
• 2012-浙江卷文-21 解-三次函数单调性与不等式证明