2012-山东卷文-22 解-导数单调性与不等式证明

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于参数法、导数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年山东卷(文)） 已知函数 $f(x)=\frac{\ln x+k}{{\mathrm{e}}^x}$（$k$ 为常数，$\mathrm{e}=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数），曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与 $x$ 轴平行.

(1)求 $k$ 的值；

(2)求 $f(x)$ 的单调区间；

(3)设 $g(x)=x{f}^{\prime }(x)$，其中 $f^{\prime }(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数. 证明：对任意 $x>0$，$g(x)<1+{\mathrm{e}}^{-2}$.

🔍【思路分析】

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$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}-\ln x-k}{{\mathrm{e}}^x}$，由 $f^{\prime }(1)=0$ 得 $k=1$；$f$ 在 $(0,1)$ 上递增、在 $(1,+\infty )$ 上递减；令 $\phi (x)=1-x-x\ln x$，其最大值为 $1+{\mathrm{e}}^{-2}$，故 $g(x)<1+{\mathrm{e}}^{-2}$。

✅【答案】

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(1)$k=1$；(2)$f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减；(3)见解析

✍【详细解析】

Abstract

（1）$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot {\mathrm{e}}^x-(\ln x+k){\mathrm{e}}^x}{{\mathrm{e}}^{2x}}=\frac{\frac{1}{x}-\ln x-k}{{\mathrm{e}}^x}$。

由题意 $f^{\prime }(1)=0$，即 $\frac{1-0-k}{\mathrm{e}}=0$，故 $k=1$。

（2）由（1）得 $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}-\ln x-1}{{\mathrm{e}}^x}$，其符号由 $h(x)=\frac{1}{x}-\ln x-1$ 决定。

$h^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}<0$（$x>0$），故 $h$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递减。

又 $h(1)=0$，所以当 $0<x<1$ 时 $h(x)>0$，即 $f^{\prime }(x)>0$；当 $x>1$ 时 $h(x)<0$，即 $f^{\prime }(x)<0$。

故 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增，在 $(1,+\infty )$ 上单调递减。

（3）由（2）得 $g(x)=x{f}^{\prime }(x)=x\cdot \frac{\frac{1}{x}-\ln x-1}{{\mathrm{e}}^x}=\frac{1-x-x\ln x}{{\mathrm{e}}^x}$（$x>0$）。

令 $\phi (x)=1-x-x\ln x$（$x>0$），则 ${\phi }^{\prime }(x)=-1-(\ln x+1)=-2-\ln x$。

当 $0<x<{\mathrm{e}}^{-2}$ 时 ${\phi }^{\prime }(x)>0$，$\phi$ 递增；当 $x>{\mathrm{e}}^{-2}$ 时 ${\phi }^{\prime }(x)<0$，$\phi$ 递减。

故 $\phi (x)⩽\phi \left({\mathrm{e}}^{-2}\right)=1-{\mathrm{e}}^{-2}-{\mathrm{e}}^{-2}\times (-2)=1+{\mathrm{e}}^{-2}$。

又 $x>0$ 时 ${\mathrm{e}}^x>1$，故 $g(x)=\frac{\phi (x)}{{\mathrm{e}}^x}⩽\phi (x)⩽1+{\mathrm{e}}^{-2}$。

若 $g(x)=1+{\mathrm{e}}^{-2}$，则需同时有 $\phi (x)=1+{\mathrm{e}}^{-2}$（即 $x={\mathrm{e}}^{-2}$）与 ${\mathrm{e}}^x=1$（即 $x=0$），不可能。

所以对任意 $x>0$，都有 $g(x)<1+{\mathrm{e}}^{-2}$，结论成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义；利用导数研究单调性；把不等式证明转化为求函数最值

核心方法：商的求导法则 → 切线条件定参数 → 用导数符号变化写单调区间 → 构造辅助函数求最大值证不等式

避坑指南：$f(x)=\frac{\ln x+k}{{\mathrm{e}}^x}$ 求导时分子是 $\frac{1}{x}\cdot {\mathrm{e}}^x-(\ln x+k){\mathrm{e}}^x$，别漏 ${\mathrm{e}}^x$ 的导数项；证严格不等号要说明等号取不到（本题 $\phi$ 与 ${\mathrm{e}}^{-x}$ 的最大值点不同）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数单调性与不等式证明综合题，与 2014 年山东卷理第 20 题、2013 年山东卷理第 21 题同族。

结论推广：${\left[\frac{u(x)}{{\mathrm{e}}^x}\right]}^{\prime }=\frac{u^{\prime }(x)-u(x)}{{\mathrm{e}}^x}$；$1-x-x\ln x$ 在 $x={\mathrm{e}}^{-2}$ 处取得最大值 $1+{\mathrm{e}}^{-2}$。

方法推广：“证明 $g(x)<C$“的通用套路：构造辅助函数 → 求导找最大值 → 比较最大值与 $C$，并单独说明取等不成立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷理-20 解-导数单调性
• 2013-山东卷理-21 解-导数单调性与最值
• 2013-新课标II卷文-21 解-导数极值与切线截距