2012-辽宁卷文-23 解-极坐标方程与公共弦

本题导读

本题考查圆的极坐标方程。核心在于参数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(文)） （选修 4-4：坐标系与参数方程）在直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C_1$：$x^2+y^2=4$，圆 $C_2$：$(x-2{)}^2+y^2=4$.

(1)在以 $O$ 为极点，$x$ 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 $C_1$，$C_2$ 的极坐标方程，并求出圆 $C_1$，$C_2$ 的交点坐标（用极坐标表示）；

(2)求圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦的参数方程.

🔍【思路分析】

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（1）$\rho =2$，$\rho =4\cos \theta$，交点 $(2,\frac{\pi }{3})$，$(2,-\frac{\pi }{3})$；（2）公共弦 $x=1$，$-\sqrt{3}⩽y⩽\sqrt{3}$，参数方程 $x=1$，$y=t$（$-\sqrt{3}⩽t⩽\sqrt{3}$）。

✅【答案】

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(1)圆 $C_1$，$C_2$ 的极坐标方程分别为 $\rho =2$，$\rho =4\cos \theta$，交点坐标为 $(2,\frac{\pi }{3})$，$(2,-\frac{\pi }{3})$；(2)公共弦的参数方程为 $x=1$，$y=t$（$-\sqrt{3}⩽t⩽\sqrt{3}$）

✍【详细解析】

Abstract

（1）圆 $C_1$：$x^2+y^2=4$，即 ${\rho }^2=4$，又 $\rho ⩾0$，故 $\rho =2$。

圆 $C_2$：$(x-2{)}^2+y^2=4$，展开得 $x^2+y^2=4x$，即 ${\rho }^2=4\rho \cos \theta$，故 $\rho =4\cos \theta$。

联立 $\rho =2$ 与 $\rho =4\cos \theta$：$2=4\cos \theta$，$\cos \theta =\frac{1}{2}$，故 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 或 $\theta =-\frac{\pi }{3}$。

所以两圆交点的极坐标为 $(2,\frac{\pi }{3})$，$(2,-\frac{\pi }{3})$（对应直角坐标 $(1,\pm \sqrt{3})$）。

（2）两圆方程相减：$x^2+y^2-[(x-2{)}^2+y^2]=4-4$，得 $4x-4=0$，即 $x=1$。

代入 $C_1$：$1+y^2=4$，$y=\pm \sqrt{3}$，所以公共弦是以 $(1,-\sqrt{3})$，$(1,\sqrt{3})$ 为端点的线段。

取 $y=t$ 为参数，公共弦的参数方程为

$\{\begin{array}{l}x=1,\\ y=t,\end{array}$（$-\sqrt{3}⩽t⩽\sqrt{3}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的极坐标方程（$\rho =2a\cos \theta$ 型）；极坐标下的联立求交点；公共弦（两圆方程相减）与参数方程的范围

核心方法：“直角化极、联立解角”求交点；“两圆方程相减”得公共弦所在直线，再代回定端点、写参数范围

避坑指南：$\rho =4\cos \theta$ 表示过极点、圆心在 $(2,0)$、半径 $2$ 的圆，不是”直径 $4\cos \theta$“；公共弦是线段不是整条直线，参数 $t$ 必须限定 $-\sqrt{3}⩽t⩽\sqrt{3}$，漏写范围是本题主要失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标方程与公共弦参数方程题，与 2012 年湖南卷文第 10 题、2014 年辽宁卷文第 23 题、2013 年新课标Ⅱ文第 23 题同族。

结论推广：圆 $(x-a{)}^2+y^2=a^2$（过极点）的极坐标方程为 $\rho =2a\cos \theta$；两圆的公共弦所在直线由两圆一般方程相减得到（圆系方程的思想）。

方法推广：极坐标系中求交点：先把两方程都化成 $\rho =f(\theta )$，联立解出 $\theta$ 再回代 $\rho$；写参数方程时先定”端点”再定范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2012-湖南卷文-10 填-极坐标方程交点
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程
• 2013-新课标II卷文-23 解-参数方程