2012-辽宁卷理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数四则运算，以及共轭复数。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 复数 $\frac{2-\text{i}}{2+\text{i}}=$ ()

A. $\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\text{i}$　　　B. $\frac{3}{5}+\frac{4}{5}\text{i}$　　　C. 1 - $\frac{4}{5}\text{i}$　　　D. $1+\frac{3}{5}\text{i}$

🔍【思路分析】

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1. 观察已知复数表达式为分式形式，需要进行复数除法运算。
2. 识别分母为 $2+\text{i}$，其共轭复数为 $2-\text{i}$。
3. 将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 $2-\text{i}$，使分母实数化。
4. 分子部分按多项式乘法展开，分母部分利用平方差公式展开。
5. 利用 $i^2=-1$ 替换虚数单位的平方项，合并同类项，拆分出实部与虚部。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

为了化简复数分式，将分子与分母同时乘以分母 $2+\text{i}$ 的共轭复数 $2-\text{i}$： $\frac{2-\text{i}}{2+\text{i}}=\frac{(2-\text{i})(2-\text{i})}{(2+\text{i})(2-\text{i})}$

分别展开分子与分母：

• 分子部分： $(2-\text{i}{)}^2=4-4\text{i}+{\text{i}}^2$
• 分母部分： $(2+\text{i})(2-\text{i})=2^2-{\text{i}}^2=4-{\text{i}}^2$

因为 虚数单位满足 ${\text{i}}^2=-1$，将 ${\text{i}}^2$ 替换为 $-1$：

• 分子转化为： $4-4\text{i}+(-1)=3-4\text{i}$
• 分母转化为： $4-(-1)=4+1=5$

将结果重新拼装，并分离实部与虚部： $\frac{3-4\text{i}}{5}=\frac{3}{5}-\frac{4}{5}\text{i}$

故选 A#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：共轭复数的构造、复数除法的实数化转化、 ${\text{i}}^2$ 恒等变换。
2. 核心方法：分母实数化法。
3. 避坑指南：

• 展开分子时容易漏掉中间的交叉项，误算为 $(2-\text{i}{)}^2=4-{\text{i}}^2$。
• 在处理 ${\text{i}}^2=-1$ 时发生符号看错的低级失误，例如将分母错算为 $4-1=3$。牢记分母是复数模长的平方： $|a+bi{|}^2=a^2+b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第二章《复数》中关于复数四则代数运算的课后基础练习题。
2. 结论推广：在复数集中，形如 $\frac{a-b\text{i}}{a+b\text{i}}$ （ $a,b\in \mathbf{R}$ 且不同时为 0）的复数分式，其分母实数化后的通用计算模型为： $\frac{a-b\text{i}}{a+b\text{i}}=\frac{(a-b\text{i}{)}^2}{a^2+b^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}-\frac{2ab}{a^2+b^2}\text{i}$ 由于本题中 $a=2,b=1$，直接代入该模型：实部为 $\frac{2^2-1^2}{2^2+1^2}=\frac{3}{5}$，虚部为 $-\frac{2\times 2\times 1}{2^2+1^2}=-\frac{4}{5}$。熟练掌握这一高阶结构模型，可在小题中实现免建系直接心算得出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数 类题演练 (Links)

• 2003-辽宁卷-03

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义

• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数