2012-辽宁卷理-07 单-三角综合

本题导读

本题考查三角两角和与差公式，以及三角函数的求值。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 已知 $\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{2},\alpha \in (0,\pi )$, 则 $\tan \alpha =$ ()

A. -1　　　　　　　B. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. 1

🔍【思路分析】

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1. 方法一：辅助角公式化简（通法）

• 看到 $\sin \alpha -\cos \alpha$ 形式，优先使用辅助角公式进行合一化简。
• 提取系数模长 $\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$，改写为 $\sqrt{2}\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$。
• 联立已知等式求出 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=1$。
• 根据 $\alpha$ 的取值范围，求出唯一的角 $\alpha$，进而求出 $\tan \alpha$。

2. 方法二：平方联立法（常规法）

• 将已知式 $\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{2}$ 两边平方，利用 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 提取出 $2\sin \alpha \cos \alpha =-1$。
• 结合已知条件解出 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 的具体代数解，做比值求正切。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

方法一：辅助角公式法

因为 题目已知等式为 $\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{2}$， 所以 利用三角恒等变换中的辅助角公式，将左端进行逆向合一化简： $\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \alpha -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \alpha \right)=\sqrt{2}$ $\sqrt{2}\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$

两边同时除以常数 $\sqrt{2}$，可得： $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)=1$

因为 题目限定自变量范围为 $\alpha \in (0,\pi )$， 所以 复合因式的范围满足： $-\frac{\pi }{4}<\alpha -\frac{\pi }{4}<\frac{3\pi }{4}$

在此区间范围内，正弦值等于 1 的特殊角只有 $\frac{\pi }{2}$，即： $\alpha -\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}⟹\alpha =\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$

最终根据同角三角函数的商数关系求正切值： $\tan \alpha =\tan \frac{3\pi }{4}=-1$

故选 A#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：辅助角公式的标准变换、特殊三角方程的区间解集判定。
2. 核心方法：合一公式转化法。
3. 避坑指南：

• 使用辅助角公式时注意符号。 $\sin \alpha -\cos \alpha$ 对应的是减角公式 $\sin \left(\alpha -\frac{\pi }{4}\right)$，不要盲目误写作加角公式。
• 最终求解 $\tan \frac{3\pi }{4}$ 时注意诱导公式象限符号。该角处于第二象限，正切值必为负数，切忌粗心漏掉负号错选 (D)。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第一册第五章《三角恒等变换》中关于辅助角公式应用的典型高频主干基础选择题。
2. 结论推广：本题模型属于标准的极端边界极值点模型。根据柯西不等式或辅助角基本性质，函数 $f(\alpha )=\sin \alpha -\cos \alpha$ 的最大值在实数域内本就为 $\sqrt{2}$。当函数值直接等于其数学边界最大值 $\sqrt{2}$ 时，说明两个分量（ $\sin \alpha$ 与 $-\cos \alpha$ ）必须同时取到其在特定方向投影的最大上限值，即满足 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}$ 且 $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{2}}{2}$。无需完成复杂的变形计算，两式直接做比值 $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}=-1$ 即可实现快速得出。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式 类题演练 (Links)

• 2008-大纲卷II理-17

• 2011-上海卷文-04 填-辅助角最值

• 1986-全国理-16 填-三角恒等变换求值