2012-辽宁卷理-13 填-三视图

本题导读

本题考查空间几何体的三视图，以及组合体的结构特征识别。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 三视图逆向空间建模：

• 外层大壳体：看三个视图的外轮廓。正视图是长为 $1+2+1=4$，高为 $1$ 的长方形；侧视图是宽为 $0.5+2+0.5=3$，高为 $1$ 的长方形；俯视图是一个长为 $4$，宽为 $3$ 的长方形。这说明整个几何体的外轮廓是一个长为 4、宽为 3、高为 1 的大长方体。
• 内嵌空心体：看视图内部的线。正视图和侧视图内部均有两条间距为 $2$ 的竖直虚线，虚线在建筑制图中代表被遮挡的不可见轮廓；俯视图中心是一个直径为 $2$ 的实线圆。综合两点，说明该长方体正中央沿垂直方向被挖去了一个通底的圆柱。

2. 表面积拆分与重组公式： 该挖空组合体的总表面积由以下几部分构成：

• 长方体外部的 4 个侧面积。
• 长方体上、下底面刨除圆柱底面圆后的剩余阴影环形面积。
• 被掏空的圆柱内部的侧面积（内壁表面积）。

3. 几何量精细计算： 提取长方体长 $a=4$, 宽 $b=3$, 高 $h=1$；圆柱底面直径 $d=2⟹$ 半径 $r=1$, 高 $h=1$。分别代入标准公式叠加化简。

✅【答案】

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38

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原几何体三维参数

根据三视图的空间几何映射原理进行尺寸核对：

• 外层长方体： 长 $a=1+2+1=4$ 宽 $b=0.5+2+0.5=3$ 高 $h=1$

• 内嵌被挖掉的通底圆柱： 底面直径 $d=2⟹$ 半径 $r=\frac{d}{2}=1$ 高 $h=1$ （由于虚线贯穿整个高度，说明是通底圆柱）

第二步：计算各部分表面积

该几何体的总表面积 $S_{\text{总}}$ 可以看作是：外层大长方体的总表面积，减去圆柱上、下两个底面圆的面积，再加上圆柱内部洞穴的内侧面积。

1. 大长方体的标准总表面积： $S_{\text{长方体}}=2\times (ab+ah+bh)=2\times (4\times 3+4\times 1+3\times 1)=2\times (12+4+3)=2\times 19=38$

2. 圆柱上、下底面圆的总面积（需要在长方体表层扣除的部分）： $S_{\text{底圆}}=2\times \pi r^2=2\times \pi \times 1^2=2\pi$

3. 圆柱的内壁侧面积（由于掏空而新产生的内部表面）： $S_{\text{圆柱侧}}=2\pi r\cdot h=2\pi \times 1\times 1=2\pi$

第三步：组合汇总

将各部分面积进行割补叠加： $S_{\text{总}}=S_{\text{长方体}}-S_{\text{底圆}}+S_{\text{圆柱侧}}$ $S_{\text{总}}=38-2\pi +2\pi =38$

故答案为：38

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚实线转换透视空间形体、挖空组合体表面积的“无损等量转换”。
2. 核心方法：模型复原法与消元法。
3. 避坑指南：

• 最易错点（盲目背公式）：很多同学一看到内挖圆柱，就机械地套用 $S=S_{\text{长}}+S_{\text{圆柱侧}}-2S_{\text{底}}$。虽然本题中因为圆柱的高 $h=1$ 恰好等于半径 $r=1$ 的两倍？不对，本题中 $S_{\text{底圆}}=2\pi$， $S_{\text{圆柱侧}}=2\pi$，二者由于数值完全相等，在相减和相加的过程中恰好完全抵消。这是一个精妙的数字巧合，如果换了高度，切记要一步一步进行割补，不可指望每次都能抵消。
• 侧视图的横向总宽为 $0.5+2+0.5=3$，看图时要细心累加，切勿漏看两侧对称的 $0.5$ 边距。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》中关于空间几何体三视图与表面积计算的课后主干高频填空题。
2. 结论推广：本题模型在工程机械制图中被称为中心冲孔垫片（Centered Punched Plate）。可推广至通项代数模型：在一个长为 $a$、宽为 $b$、高为 $h$ 的长方体中心，垂直打穿一个底面半径为 $r$ 的圆柱形通孔。该零件的表面积通用表达式为： $S=2(ab+ah+bh)-2\pi r^2+2\pi rh=2(ab+ah+bh)+2\pi r(h-r)$ 通过该通用推广公式可以看出，当且仅当 $h=r$ （即孔的高度恰好等于孔的半径）时，后端的纯三角函数 $\pi$ 项系数 $(h-r)$ 直接归零，总表面积神奇地退化为与原完好长方体表面积完全相等的定值 $2(ab+ah+bh)$。本题中 $h=1,r=1$ 恰好踩中了这一极端对称奇点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积 类题演练 (Links)

• 2014-新课标II卷文-06 单-三视图圆柱切削

• 2014-湖北卷理-05 单-由直观图确定三视图

• 2007-山东卷理-03 单-旋转体多面体结构特征