2014-湖北卷理-05 单-由直观图确定三视图

本题导读

本题考查根据空间直角坐标系中的顶点坐标确定几何体的正视图和俯视图。关键在于理解三视图的投影原理：正视图投影到 $yOz$ 平面，俯视图投影到 $xOy$ 平面。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 在如图所示的空间直角坐标系 $O-xyz$ 中，一个四面体的顶点坐标分别是 $(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2)$.给出编号为 ①、②、③、④ 的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()

A. ①和②　　　　　B. ③和①　　　　　C. ④和③　　　　　D. ④和②

🔍【思路分析】

破题导航

1. 标记顶点：设 $A(0,0,2),B(2,2,0),C(1,2,1),D(2,2,2)$。
2. 正视图分析：投影方向沿 $x$ 轴正方向，投影面为 $yOz$ 平面。
   • 投影点：$A^{\prime }(0,2),B^{\prime }(2,0),C^{\prime }(2,1),D^{\prime }(2,2)$。
   • 注意可见性：距离观察者近（$x$ 值大）的棱为实线，被遮挡的为虚线。
3. 俯视图分析：投影方向沿 $z$ 轴负方向，投影面为 $xOy$ 平面。
   • 投影点：$A^{\prime \prime }(0,0),B^{\prime \prime }(2,2),C^{\prime \prime }(1,2),D^{\prime \prime }(2,2)$（注：$B,D$ 投影重合）。
   • 分析轮廓及内部连线的可见性。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析正视图（投影到 $yOz$ 平面）

• 顶点投影：$A(0,0,2)\to (0,2)$，$B(2,2,0)\to (2,0)$，$C(1,2,1)\to (2,1)$，$D(2,2,2)\to (2,2)$。
• 轮廓线：由 $(0,2),(2,0),(2,2)$ 围成的直角三角形。
• 内部线段：棱 $AC$ 的投影连接 $(0,2)$ 和 $(2,1)$。由于点 $C(x=1)$ 在前面，点 $A(x=0)$ 在后面，线段 $AC$ 可见，为实线。
• 对应图形：图 ④。

第二步：分析俯视图（投影到 $xOy$ 平面）

• 顶点投影：$A(0,0,2)\to (0,0)$，$B(2,2,0)\to (2,2)$，$C(1,2,1)\to (1,2)$，$D(2,2,2)\to (2,2)$。
• 轮廓线：由 $(0,0),(1,2),(2,2)$ 围成的三角形。
• 内部线段：棱 $AD$ 的投影连接 $(0,0)$ 和 $(2,2)$。点 $D(z=2)$ 在点 $A(z=2)$ 上方，棱 $AD$ 可见，为实线。
• 对应图形：图 ②。

综上所述，正视图为 ④，俯视图为 ②。

故选 D


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：由顶点坐标确定正视图与俯视图

2. 核心方法：将顶点分别投影到 $yOz$ 与 $xOy$ 平面，结合可见性判断实线虚线

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 三视图投影原理与可见性

2. 结论推广: 正视图投影到 $yOz$，俯视图投影到 $xOy$。

3. 方法推广: 可迁移到由坐标确定三视图、投影与可见性判断类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-07 单-由直观图确定三视图
• 2015-福建卷文-09 单-三视图
• 2015-新课标II卷文-06 单-三视图