2012-辽宁卷理-14 填-数列综合

本题导读

本题考查等比数列的定义与通项公式，以及等比数列的性质。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 已知等比数列 $\{a_n\}$ 为递增数列，且 $a_3^2=a_{10}$, $2(a_n+a_{n+2})=5a_{n+1}$, 则数列 $\{a_n\}$ 的通项公式 $a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 基本量法拆解方程：设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。
2. 分析第二个条件锁定公比 $q$：

• 将 $2(a_n+a_{n+2})=5a_{n+1}$ 用通项公式展开： $2(a_1{q}^{n-1}+a_1{q}^{n+1})=5a_1{q}^n$。
• 由于等比数列各项非零，两边同时约去 $a_1{q}^{n-1}$，转化为关于 $q$ 的一元二次方程。
• 解方程求出两个可能的公比值。

3. 结合“递增”条件进行筛选：等比数列递增要求满足一定的首项与公比搭配。通过对公比特征的定性判断，筛选出唯一的合法公比。
4. 利用第一个条件求出首项 $a_1$：将已知的公比 $q$ 代入 $a_3^2=a_{10}⟹(a_1{q}^2{)}^2=a_1{q}^9$，求出 $a_1$。
5. 拼装通项公式：由 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 写出最终结果。

✅【答案】

点击查看答案

$2^{n+4}$

✍【详细解析】

Abstract

设等比数列 $\{a_n\}$ 的首项为 $a_1$，公比为 $q$。

第一步：求解公比 $q$

因为 $2(a_n+a_{n+2})=5a_{n+1}$，根据等比数列通项公式代入得： $2(a_1{q}^{n-1}+a_1{q}^{n+1})=5a_1{q}^n$

由于等比数列的各项均不为 0，且公比 $q\ne 0$，方程两边同时除以公项 $a_1{q}^{n-1}$，可得： $2(1+q^2)=5q$ 展开并移项整理成一元二次方程的标准形式： $2q^2-5q+2=0$

利用十字相乘法进行因式分解： $(2q-1)(q-2)=0$ 解得： $q=2\text{或}q=\frac{1}{2}$

因为 题目明确限定数列 $\{a_n\}$ 为递增数列：

• 若 $q=\frac{1}{2}$，要使数列递增，首项 $a_1$ 必须小于 0。但后续若首项为负，各项将趋近于0，属于递增；若公比 $q=2>1$，且各项为正数时数列显现出更强烈的标准膨胀递增态势。 我们先将两个可能的公比代入第一个条件中进一步观察：

第二步：求解首项 $a_1$

根据第一个条件等式 $a_3^2=a_{10}$，用基本量展开： $(a_1{q}^2{)}^2=a_1{q}^9⟹a_1^2{q}^4=a_1{q}^9$

因为 $a_1\ne 0$ 且 $q\ne 0$，两边同时除以 $a_1{q}^4$，化简可得首项与公比的直接关联式： $a_1=q^5$

• 分支一：若 $q=\frac{1}{2}$： 则首项 $a_1={\left(\frac{1}{2}\right)}^5=\frac{1}{32}$。此时数列各项为： $\frac{1}{32},\frac{1}{64},\frac{1}{128},\cdots$，显然该数列是递减的，与题意不符，舍去。
• 分支二：若 $q=2$： 则首项 $a_1=2^5=32$。此时数列各项为： $32,64,128,\cdots$，显然该数列是递增的，完全符合题意。

综上所述，唯一合法的基本量为： $a_1=32,q=2$

第三步：拼装通项公式

将 $a_1=32,q=2$ 代入等比数列通项公式中： $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=32\times 2^{n-1}=2^{n+4}$

故答案为：$2^{n+4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等比数列相邻三项递推式的去指数化简、递增等比数列对首项与公比正负范围的严格约束。
2. 核心方法：基本量（ $a_1-q$ ）方程思想。
3. 避坑指南：

• 很多同学在解完 $q$ 之后忘记通过“递增数列”这一限制条件进行排除，把 $a_1=q$ 代入后直接写出两个答案，导致扣分。
• 在约去公项 $a_1{q}^{n-1}$ 时要清楚其恒不为零的数理逻辑，确保变形的等价性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《数列》中关于等比数列通项公式求解的典型高频中档填空题。
2. 结论推广：本题的第二个条件 $2(a_n+a_{n+2})=5a_{n+1}$ 属于标准的等比相邻三项齐次模型。 一般化推广：若等比数列中任意相邻三项满足 $A\cdot a_n+B\cdot a_{n+2}=C\cdot a_{n+1}$，则其公比 $q$ 必然是特征方程 $B{q}^2-Cq+A=0$ 的实数根。本题中 $A=2,B=2,C=5$，特征方程即为 $2q^2-5q+2=0$。熟练掌握这一特征方程映射模型，可以在看到递推式的第一时间略过中间展开步，直接在草稿纸上列出方程解出公比。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结 类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-04 单-等比数列公比

• 2013-新课标I卷理-14 填-Sn与an

• 2013-江西卷理-03 单-等比中项