2012-辽宁卷理-16 填-外接球

本题导读

本题考查多面体的外接球，以及正三棱锥的结构性质。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 已知正三棱锥 $P-ABC$，点 $P,A,B,C$ 都在半径为 $\sqrt{3}$ 的球面上. 若 $PA,PB,PC$ 两两互相垂直，则球心到截面 $ABC$ 的距离为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 识别核心特征进行空间补形：

• 题干给出“ $PA,PB,PC$ 两两互相垂直”。在立体几何中，从一点出发的三条射线两两垂直，是标准的长方体（或正方体）的一个顶点视角。
• 由于 $P-ABC$ 同时又是正三棱锥，这说明侧棱必须满足 $PA=PB=PC$。
• 综合这两点，我们可以采用“补形法”，将该三棱锥放置进一个以 $P$ 为顶点、边长为 $a$ 的正方体中。此时，球 $O$ 既是三棱锥 $P-ABC$ 的外接球，同时也是整个补全后的正方体的外接球。

2. 利用正方体性质建立半径方程：

• 正方体的体对角线长度等于其外接球的直径： $2R=\sqrt{3}a$。
• 结合已知球半径 $R=\sqrt{3}$，计算出正方体的棱长 $a$。

3. 计算球心到截面的距离：

• 建立体对角线的分段投影模型。球心 $O$ 位于正方体中心，截面 $ABC$ 是正方体中截断一个顶角后生成的等边三角形平面。
• 根据空间几何对称性，正方体的体对角线 $P{D}^{\prime }$ 垂直于截面 $ABC$，且交点 $H$ 为 $△ABC$ 的中心。
• 体对角线被截面 $ABC$ 及其相对的另一个截面三等分，从而通过线段比例关系直接算出球心到平面的距离。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用正方体补形法求解基本量

因为 正三棱锥 $P-ABC$ 的侧棱 $PA,PB,PC$ 两两互相垂直， 所以 我们可以将该三棱锥补形成一个以 $P$ 为顶点、棱长为 $a$ 的正方体。 其中， $PA,PB,PC$ 为该正方体从顶点 $P$ 出发的三条棱。

由于正方体的外接球与该三棱锥的外接球为同一个球，根据正方体的几何性质，正方体的体对角线长等于外接球的直径： $\sqrt{a^2+a^2+a^2}=2R⟹\sqrt{3}a=2R$

题目已知球的半径 $R=\sqrt{3}$，代入上式中： $\sqrt{3}a=2\sqrt{3}⟹a=2$ 即对应的几何体是由棱长为 $2$ 的正方体切分而来的。

第二步：分析球心、顶点与截面的相对位置

设该正方体中与顶点 $P$ 相对的另一个体对角线端点为 $D^{\prime }$。 则该正方体的体对角线 $P{D}^{\prime }$ 的总长度为： $P{D}^{\prime }=\sqrt{3}a=\sqrt{3}\times 2=2\sqrt{3}$

因为 球心 $O$ 是正方体的中心，所以球心 $O$ 恰好位于体对角线 $P{D}^{\prime }$ 的中点处，满足： $PO=\frac{1}{2}P{D}^{\prime }=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{3}=\sqrt{3}$

根据空间向量与射影几何定理，正方体的体对角线 $P{D}^{\prime }$ 严格垂直于截面 $ABC$。 设 $P{D}^{\prime }$ 与截面 $ABC$ 的交点为 $H$，则线段 $OH$ 的长度即为球心到截面 $ABC$ 的垂直距离。

在正方体模型中，从顶点 $P$ 出发到截面 $ABC$ 的垂线段 $PH$ 的长度，可以通过三棱锥的等体积变形（等积法）求得： 三棱锥 $P-ABC$ 的体积可表示为： $V=\frac{1}{3}{S}_{△PAB}\cdot PC=\frac{1}{3}\times \left(\frac{1}{2}{a}^2\right)\times a=\frac{1}{6}{a}^3=\frac{1}{6}\times 2^3=\frac{4}{3}$

同时，以 $ABC$ 为底面时，体积亦可表示为： $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot PH$ 因为 $AB=BC=CA=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$， 等边三角形 $ABC$ 的面积为： $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (2\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 8=2\sqrt{3}$ 代入体积等式： $\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times PH=\frac{4}{3}⟹PH=\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

第三步：作差求解距离

由于点 $P$、 $H$、 $O$ 三点共线（都在体对角线上），且垂足 $H$ 位于顶点 $P$ 与球心 $O$ 之间， 所以球心 $O$ 到截面的距离 $OH$ 为： $OH=PO-PH=\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：外接球半径与正方体棱长的转换、基于体对角线的线面距离割补。
2. 核心方法：正方体补形特征法。只要看到空间中有三条线“两两垂直且长度相等”，闭着眼睛直接拉出一个正方体模型，能让抽象的悬空球体瞬间落地。
3. 避坑指南：

• 算完 $PH$ 的长后，千万不要误认为这就是最终答案。题干问的是球心 $O$ 到平面的距离，而不是顶点 $P$ 到平面的距离。必须用半对角线长 $PO$ 减去 $PH$ 才是目标值。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》中关于多面体外接球经典计算的填空压轴题。
2. 结论推广：本题模型属于标准的正方体顶角三等分体对角线定理。 一般化推广：在一个棱长为 $a$ 的正方体中，从任意顶点 $P$ 出发的三条棱端点组成的截面，必然将该正方体的体对角线 $L$ 严格地切分为 $1:1:1$ 的三等分点。 即 靠近顶角的垂线段长恒满足： $PH=\frac{1}{3}L=\frac{\sqrt{3}}{3}a$。 而球心到截面的距离 $OH$ 恒满足： $OH=\frac{1}{2}L-\frac{1}{3}L=\frac{1}{6}L=\frac{\sqrt{3}}{6}a$。 直接带入本题求出的棱长 $a=2$： $OH=\frac{\sqrt{3}}{6}\times 2=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 熟知这一正方体对角线三等分通性模型，可在遭遇任何“两两垂直外接球求距离”的变式题时，实现不画图、不列体积式，直接出数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积 类题演练 (Links)

• 2008-安徽卷文-16 填-球面距离

• 2008-浙江卷文-15 填-外接球体积

• 2008-福建卷文-15 填-补形求外接球