2008-福建卷文-15 填-补形求外接球

本题导读

三条侧棱两两垂直且等长 $\sqrt{3}$，可补形为棱长 $\sqrt{3}$ 的正方体，其外接球直径等于体对角线 $\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3$.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 $\sqrt{3}$，则其外接球的表面积是　　　.

🔍【思路分析】

破题导航

补形为棱长 $\sqrt{3}$ 的正方体：$2R=3\Rightarrow R=\frac{3}{2}$，$S=4\pi R^2=9\pi$.

✅【答案】

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$9\pi$

✍【详细解析】

Abstract

三条侧棱两两垂直且长度均为 $\sqrt{3}$，将该三棱锥补形为棱长 $\sqrt{3}$ 的正方体，三棱锥与正方体有相同的外接球. 外接球直径 $2R$ 等于正方体体对角线长：$2R=\sqrt{3}\times \sqrt{3}=3$，故 $R=\frac{3}{2}$. 表面积 $S=4\pi R^2=4\pi \times \frac{9}{4}=9\pi$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：补形法求外接球

核心方法：三侧棱两两垂直等长 ⟹ 补正方体，直径 = 体对角线

避坑指南：侧棱长 $sqrt3$ 是正方体棱长，体对角线是 $$\begin{gathered} sqrt3 \\ times \\ sqrt3=3 \end{gathered}$$ 而非 $sqrt3$；最后求的是表面积 $$\begin{gathered} 4 \\ pi{R}^2 \end{gathered}$$ 别写成体积

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：补形求外接球是球问题第一模型（2010 新课标Ⅰ文 7）

结论推广：侧棱不等长时补长方体：三条棱 $a,b,c$，$2R=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

方法推广：“两两垂直 ⟹ 补盒”是从三维直觉到公式的桥梁

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2010-新课标卷文-07 单-长方体外接球
• 2011-重庆卷文-10 单-四棱锥外接球
• 2013-天津卷文-10 填-正方体外接球
• 2012-新课标卷文-08 单-球的截面与体积