2012-辽宁卷理-23 解-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化。核心在于公式代换法、代数消元法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年辽宁卷(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，圆 $C_1:x^2+y^2=4$，圆 $C_2:(x-2{)}^2+y^2=4$.

(1)在以 $O$ 为极点， $x$ 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆 $C_1,C_2$ 的极坐标方程，并求出圆 $C_1,C_2$ 的交点坐标（用极坐标表示）；

(2)求圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦的参数方程.

🔍【思路分析】

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1. 第一问直角坐标转极坐标：

• 利用极坐标与直角坐标的经典转换公式： $x^2+y^2={\rho }^2$ ， $x=\rho \cos \theta$ ， $y=\rho \sin \theta$。
• 将圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 的直角坐标方程直接进行代换、展开并化简，提取出 $\rho$ 关于 $\theta$ 的函数。
• 联立两个极坐标方程，消去 $\rho$ 解出相交位置的极角 $\theta$，进而反代求出极径 $\rho$，写出对应的极坐标点 $(\rho ,\theta )$。

2. 第二问公共弦的参数方程构建：

• 求直角坐标方程：将圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的直角坐标方程直接相减，即可消去二次项，获得公共弦所在的直线方程。
• 确定边界范围：利用第一问求得的交点，或者直接在直角坐标系下联立两圆方程，求出公共弦两个端点的纵坐标范围。
• 参数化表达：选择合适的几何参量（通常直接选择纵坐标 $y$ 作为参数，或者选用标准方向向量参数 $t$），将直线方程改写为标准的参数方程形式，并精确交待参数的取值区间。

✅【答案】

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(1) $\rho =2$ 与 $\rho =4\cos \theta$，交点 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right),\left(2,-\frac{\pi }{3}\right)$

(2) $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t\end{array}(-\sqrt{3}\le t\le \sqrt{3})$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解：求圆 $C_1,C_2$ 的极坐标方程及交点坐标

根据直角坐标与极坐标的转换公式： $x^2+y^2={\rho }^2,x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$

• 对于圆 $C_1:x^2+y^2=4$： 直接代换可得其极坐标方程为： ${\rho }^2=4⟹\rho =2$

• 对于圆 $C_2:(x-2{)}^2+y^2=4$： 首先展开直角坐标方程： $x^2-4x+4+y^2=4⟹x^2+y^2-4x=0$ 将转换公式代入上式中： ${\rho }^2-4\rho \cos \theta =0$ 因为 极点外 $\rho \ne 0$，两边同除以 $\rho$，得其极坐标方程为： $\rho =4\cos \theta$

• 求解两圆的交点坐标： 联立圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的极坐标方程组： $\{\begin{array}{l}\rho =2\\ \rho =4\cos \theta \end{array}⟹4\cos \theta =2⟹\cos \theta =\frac{1}{2}$ 由于圆在极坐标系中的对称性，通常取极角范围 $\theta \in [-\pi ,\pi )$，解得： $\theta =\frac{\pi }{3}\text{或}\theta =-\frac{\pi }{3}$ 将 $\theta$ 的值代入 $\rho =2$ 中，得到两交点的极坐标为： $\left(2,\frac{\pi }{3}\right)\text{和}\left(2,-\frac{\pi }{3}\right)$

（2）解：求圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的公共弦的参数方程

联立圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的直角坐标方程： $\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2=4\text{(1)}\\ x^2+y^2-4x=0\text{(2)}\end{array}$ 将方程①代入方程②中： $4-4x=0⟹x=1$ 即圆 $C_1$ 与圆 $C_2$ 的公共弦所在的直线直角坐标方程为 $x=1$。

将 $x=1$ 代入方程①中以确定公共弦两个端点的纵坐标边界： $1^2+y^2=4⟹y^2=3⟹y=\pm \sqrt{3}$ 这说明公共弦是直线 $x=1$ 上纵坐标介于 $-\sqrt{3}$ 到 $\sqrt{3}$ 之间的封闭线段。

选择纵坐标 $y$ 直接作为自由代数参数（令 $y=t$），则该公共弦的参数方程可以写为： $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t\end{array}(t\text{ 为参数，且 }-\sqrt{3}\le t\le \sqrt{3})$

(说明：参数方程形式不唯一，若选择标准的几何方向向量形式，亦可写为 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=\sqrt{3}t\end{array}(t\in [-1,1])$，均判定为正确。)

故答案为： （1） $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho =2$， $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho =4\cos \theta$，交点极坐标为 $\left(2,\frac{\pi }{3}\right),\left(2,-\frac{\pi }{3}\right)$； （2）公共弦的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=t\end{array}(t\text{ 为参数，且 }-\sqrt{3}\le t\le \sqrt{3})$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角坐标方程向极坐标方程的准确换元、极坐标交点对应极角与极径的提取、公共弦直角表达式向参数形式的区间转化。
2. 核心方法：公式代换法。
3. 避坑指南：

• 第一问求出 $\cos \theta =\frac{1}{2}$ 后，千万不要漏掉第四象限的负角解 $\theta =-\frac{\pi }{3}$（或写为 $\frac{5\pi }{3}$）。两个圆在空间有两个独立的交点，必须写全。
• 第二问写参数方程时，必须刚性注明参数 $t$ 的取值范围。因为题目要求的是“公共弦”（线段），如果不写范围，方程表达的就变成了整条直线，属于严重的等价性丢失，会扣除关键步骤分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学老教材选修4-4《坐标系与参数方程》中关于圆的极坐标方程及参数方程应用的典型经典高考选做解答题。
2. 结论推广：本题所涉及的圆 $C_2:(x-2{)}^2+y^2=4⟺\rho =4\cos \theta$ 属于数学中经典的过原点的圆的极坐标通项模型。 一般化推广：对于在直角坐标系中圆心位于 $(r,0)$、半径为 $r$ 且通过原点的圆，其直角坐标方程为 $(x-r{)}^2+y^2=r^2⟺x^2+y^2-2rx=0$。直接套用极坐标代换公式，可恒等变形为统一的形式： $\rho =2r\cos \theta$ 同理，若圆心位于 $(0,r)$ 的 $y$ 轴上，其极坐标方程恒为 $\rho =2r\sin \theta$。熟记这一基础图形的极坐标标准结构，能够让我们在高考选做题中实现免去展开和代换步骤，直接一眼看穿图形的几何本质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换 类题演练 (Links)

• 2010-辽宁卷文-23 解-参数方程与极坐标

• 2013-安徽卷理-07 单-极坐标互化

• 2013-重庆卷理-15 填-极坐标互化