2013-安徽卷理-07 单-极坐标互化

本题导读

本题考查坐标系与参数方程，以及极坐标系。

📌【题干】

Question

（2013年安徽卷(理)） 在极坐标系中，圆 $\rho =2\cos \theta$ 的垂直于极轴的两条切线方程分别为()

A. $\theta =0(\rho \in \mathbb{R})$ 和 $\rho \cos \theta =2$　　　　　　　　　　　　B. $\theta =\frac{\pi }{2}(\rho \in \mathbb{R})$ 和 $\rho \cos \theta =2$

C. $\theta =\frac{\pi }{2}(\rho \in \mathbb{R})$ 和 $\rho \cos \theta =1$　　　　　　　　　　　　D. $\theta =0(\rho \in \mathbb{R})$ 和 $\rho \cos \theta =1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方程转化：利用公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,{\rho }^2=x^2+y^2$ 将圆的极坐标方程 $\rho =2\cos \theta$ 转化为直角坐标方程。
2. 分析圆的几何性质：确定圆心坐标和半径，画出其在直角坐标系中的位置。
3. 寻找切线：题目要求的切线“垂直于极轴”，在直角坐标系中即为“垂直于 $x$ 轴”，其方程形式为 $x=a$。
4. 转化回极坐标：将得到的直线方程 $x=a$ 利用极坐标定义转化回极坐标形式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转化圆的方程 已知圆方程 $\rho =2\cos \theta$。 两边同乘以 $\rho$ 得：${\rho }^2=2\rho \cos \theta$。 代入直角坐标转化公式：$x^2+y^2=2x$。 配方整理得：$(x-1{)}^2+y^2=1$。 这是一个圆心在 $(1,0)$，半径 $r=1$ 的圆。

第二步：寻找垂直于 $x$ 轴（极轴）的切线 由于圆心在 $(1,0)$ 且半径为 $1$，圆在 $x$ 轴方向上的范围是 $[0,2]$。 因此，垂直于 $x$ 轴的两条切线方程分别为：

1. $x=0$
2. $x=2$

第三步：将切线方程转化为极坐标形式

1. 对于直线 $x=0$： 在极坐标中，这条直线即为 $y$ 轴。其方程可以表示为 $\theta =\frac{\pi }{2}$。由于 $\rho$ 可以取任意实数，记作 $\theta =\frac{\pi }{2}(\rho \in \mathbb{R})$。
2. 对于直线 $x=2$： 利用公式 $x=\rho \cos \theta$，代入得 $\rho \cos \theta =2$。

综上所述，两条切线方程为 $\theta =\frac{\pi }{2}(\rho \in \mathbb{R})$ 和 $\rho \cos \theta =2$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与直角坐标的互化公式；特殊位置直线的极坐标表达。

核心方法：“先化后解再回化”。直接在极坐标系中处理几何问题往往不够直观，转回熟悉的直角坐标系是最高效的策略。

避坑指南：注意 $\theta =0(\rho \in \mathbb{R})$ 表示的是极轴所在的直线（即 $x$ 轴），而 $\theta =\frac{\pi }{2}(\rho \in \mathbb{R})$ 表示的是垂直于极轴的直线（即 $y$ 轴）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：参数方程化直角坐标方程、直线与圆的位置关系。

结论推广：圆 $\rho =2R\cos \theta$ 表示圆心在 $(R,0)$，半径为 $R$ 且过极点的圆。

方法推广：涉及极坐标系中的交点、距离、面积或切线问题，若直接计算困难，统一化为直角坐标系处理是通用技巧。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 18.16 参数方程与复数变换
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2015-湖南卷文-12 填-极坐标方程