2012-重庆卷理-04 单-定积分

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)）

${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^8$ 的展开式中常数项为()

A. $\frac{35}{16}$　　　　　　B. $\frac{35}{8}$　　　　　　C. $\frac{35}{4}$　　　　　　D. 105

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出标准通项公式：二项式 $(a+b{)}^n$ 展开式的通项为 $T_{r+1}=C_n^r\cdot a^{n-r}\cdot b^r$。在本题中，总幂次 $n=8$，$a=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$，$b=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}$。

2. 分离系数与字母部分：将通项公式中的常数系数（组合数及分母上的常数幂次）与字母自变量 $x$ 彻底分离，把 $x$ 的指数项合并为 $x^{f(r)}$ 结构。

3. 建立指数方程求 $r$：由于目标是求“常数项”，即自变量 $x$ 的综合指数必须为 0。令 $f(r)=0$ 解出一元一次方程的解 $r$。

4. 代入数值精确计算：将解出的 $r$ 值代回通项公式的前端系数部分，展开组合数与分式即可得出答案。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，设二项式 ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^8$ 展开式的第 $r+1$ 项为 $T_{r+1}$。

写出其标准通项公式：

$T_{r+1}=C_8^r\cdot (\sqrt{x}{)}^{8-r}\cdot {\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^r$

利用幂的运算性质，将根式与分式统一化为以 $x$ 为底数的指数幂形式：

$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}$

代入通项公式中展开变形：

$T_{r+1}=C_8^r\cdot {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{8-r}\cdot {\left(\frac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}\right)}^r$

$T_{r+1}=C_8^r\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{\frac{8-r}{2}}\cdot x^{-\frac{r}{2}}$

利用同底数幂的乘法法则，合并自变量 $x$ 的指数部分：

$T_{r+1}=C_8^r\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{\frac{8-r}{2}-\frac{r}{2}}=C_8^r\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{\frac{8-2r}{2}}=C_8^r\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^r\cdot x^{4-r}$

因为题目要求的是展开式中的常数项，常数项意味着自变量 $x$ 的次数为 0。

令 $x$ 的综合指数等于 0，建立一元一次方程：

$4-r=0⟹r=4$

将 $r=4$ 代回通项公式中，此时对应展开式的第 5 项（即 $T_5$），其结果为：

$T_5=C_8^4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4\cdot x^0=C_8^4\cdot \frac{1}{16}$

展开组合数 $C_8^4$ 进行数值计算：

$C_8^4=\frac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=2\times 7\times 5=70$

将组合数数值代入系数式中化简：

$T_5=70\times \frac{1}{16}=\frac{70}{16}=\frac{35}{8}$

所以，该展开式中的常数项为 $\frac{35}{8}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式通项公式 $T_{r+1}$ 的书写、非整式底数的幂指数合并、常数项指数为 0 的代数约束。

2. 核心方法：字母与系数彻底分离法。在书写通项公式时，必须将形如 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^r$ 这种常数系数项优先提到最前端，与后面的自变量 $x$ 做好隔离，从而保证最后一步代入计算时不会遗漏常数项的分母。

3. 避坑指南：

• 遗漏分母上的系数项：部分考生在合并时，往往只关注自变量 $x$ 的底数，在提取系数时把 $\frac{1}{2}$ 这一项遗漏，导致算出来的常数项直接等于组合数 70，错选或无法对齐选项。

• 项数与组合数下标混淆：牢记二项式定理中组合数的下角标比实际项数小 1（第 5 项对应的是 $r=4$），避免在填空题中错写项数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第六章《计数原理》中二项式定理的课后核心习题。属于高考对二项式基本功考查的标准常规中档题。

2. 结论推广:

• 完全对称根式二项式特定项通用模型：对于任意形如 ${\left(x^{\frac{1}{m}}+\frac{1}{A\cdot x^{\frac{1}{m}}}\right)}^n$ （即左右两侧自变量 $x$ 的指数绝对值完全等同）的标准二项式结构。

• 当总幂次 $n$ 为偶数时，其展开式中必定存在唯一的常数项。

• 且由于两侧 $x$ 的指数完全对称抵消，常数项对应的组合数下标 $r$ 恒等于总幂次的一半，即：

$$r = \frac{n}{2}$$

• 对应的常数项通用快速快捷公式为：

$$T_{\frac{n}{2}+1} = C_n^{\frac{n}{2}} \cdot \left(\frac{1}{A}\right)^{\frac{n}{2}}$$

• 本题中 $n=8,A=2$，直接套用推广快捷公式： $T_5=C_8^4\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=70\times \frac{1}{16}=\frac{35}{8}$。熟记这一对称抵消性质，在遇到同类完全等指数的对称分式二项式时，可直接跳过所有指数方程推导，直击答案。

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