2012-重庆卷理-06 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算，以及数量积与向量垂直的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)） 设 $x,y\in \mathbb{R}$，向量 $\mathbf{a}=(x,1)$，$\mathbf{b}=(1,y)$ flock，$\mathbf{c}=(2,-4)$，且 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$，$\mathbf{b}\parallel \mathbf{c}$，则 $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=$()

A. $\sqrt{5}$　　　　　　　B. $\sqrt{10}$　　　　　　　C. $2\sqrt{5}$　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

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1. 利用垂直条件求 $x$：根据两非零向量垂直的充要条件 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}⟺\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=0$。代入各自的坐标计算横坐标乘积与纵坐标乘积之和，令其为 0 解出 $x$。
2. 利用平行条件求 $y$：根据两向量平行的坐标判定定理，若 $\mathbf{b}=(x_1,y_1)$，$\mathbf{c}=(x_2,y_2)$，则 $\mathbf{b}\parallel \mathbf{c}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。通过交叉相乘建立一元一次方程解出 $y$。
3. 计算和向量坐标：将求得的 $x,y$ 的精确值带回，利用向量加法坐标公式 $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(x_a+x_b,y_a+y_b)$ 求出和向量的全新坐标。
4. 求解模长得出结果：套用向量模长公式 $|\mathbf{v}|=\sqrt{x_v^2+y_v^2}$ 算出最终的数值大小。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

因为已知向量 $\mathbf{a}=(x,1)$， $\mathbf{c}=(2,-4)$，且满足 $\mathbf{a}\perp \mathbf{c}$。 根据平面向量数量积的坐标表示，两垂直向量的数量积恒等于 0： $\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=x\times 2+1\times (-4)=0$ $2x-4=0⟹2x=4⟹x=2$

又因为已知向量 $\mathbf{b}=(1,y)$， $\mathbf{c}=(2,-4)$，且满足 $\mathbf{b}\parallel \mathbf{c}$。 根据平面向量平行的坐标表示（交叉相乘相减等于0）： $1\times (-4)-y\times 2=0$ $-4-2y=0⟹2y=-4⟹y=-2$

将求得的参数 $x=2$ 和 $y=-2$ 分别代回，得到两个向量的精确坐标为： $\mathbf{a}=(2,1),\mathbf{b}=(1,-2)$

根据平面向量的加法运算法则，将对应位置的坐标分别相加： $\mathbf{a}+\mathbf{b}=(2+1,1+(-2))=(3,-1)$

最后，利用平面向量模的绝对值计算公式，求和向量的模长： $|\mathbf{a}+\mathbf{b}|=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量垂直的坐标公式 $x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$、向量平行的坐标公式 $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$、向量模长公式。
2. 核心方法：坐标解析转化法。平面向量的代数运算，其核心本质就是将几何图形关系（平行、垂直、投影等）通过标准公式翻译为坐标的分量方程组。
3. 避坑指南：

• 向量平行公式符号记混：考生经常在记忆向量平行与垂直坐标公式时发生混淆，将平行记错为 $1\times 2+y\times (-4)=0$。切记口诀：“垂直相乘加，平行交叉减”。
• 负号平方计算失误：在最后一步求模长时， $(-1{)}^2$ 极易由于笔误粗心算成 $-1$，导致结果错算为 $\sqrt{9-1}=\sqrt{8}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中关于向量坐标线性运算与数量积的课后常规核心题。属于高考考查平面向量基本运算最基础的送分题。
2. 结论推广:

• 坐标向量线性组合通用模长模型：设任意两已知分量向量为 $\mathbf{a}=(x_1,y_1)$， $\mathbf{b}=(x_2,y_2)$。
• 其线性组合形式可统一拓展为求 $\mathbf{v}={\lambda }_1\mathbf{a}+{\lambda }_2\mathbf{b}$ 的模长。
• 对应的通用多项式模长表达通式满足： $|\mathbf{v}|=\sqrt{({\lambda }_1{x}_1+{\lambda }_2{x}_2{)}^2+({\lambda }_1{y}_1+{\lambda }_2{y}_2{)}^2}$
• 本题中 ${\lambda }_1=1,{\lambda }_2=1$，经垂直与平行锁定 $\mathbf{a}=(2,1),\mathbf{b}=(1,-2)$ 后，直接代入推广公式： $|\mathbf{v}|=\sqrt{(2+1{)}^2+(1-2{)}^2}=\sqrt{3^2+(-1{)}^2}=\sqrt{10}$。掌握该通用组合表达，能使任何多向量线性求模的问题化归为标准的一步算术式。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

• 09.03 平面向量的数量积 类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算

• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算

• 2009-江西卷文-13 填-向量垂直坐标运算