2009-江西卷文-13 填-向量垂直坐标运算

本题导读

考查向量坐标运算。$\mathbf{a}-\mathbf{c}=(3-k,-1)$，与 $\mathbf{b}=(1,3)$ 垂直给出 $(3-k)-3=0$，$k=0$。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 已知向量 $\mathbf{a}=(3,1)$，$\mathbf{b}=(1,3)$，$\mathbf{c}=(k,2)$.若 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\perp \mathbf{b}$，则 $k=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\mathbf{a}-\mathbf{c}=(3-k,-1)$。
2. 垂直即数量积为零：$(3-k)\times 1+(-1)\times 3=0$。
3. 解得 $k=0$。

✅【答案】

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$0$

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}-\mathbf{c}=(3-k,1-2)=(3-k,-1)$。 由 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\perp \mathbf{b}$，得 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot \mathbf{b}=(3-k)\times 1+(-1)\times 3=3-k-3=-k=0$。 所以 $k=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量的坐标运算与垂直

核心方法：作差后代入数量积为零

避坑指南：$\mathbf{a}-\mathbf{c}=(3-k,-1)$，垂直给出 $(3-k)-3=0$，$k=0$；坐标减法时对应分量相减，顺序别反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$(\mathbf{a}-\mathbf{c})\perp \mathbf{b}$ 即 $(\mathbf{a}-\mathbf{c})\cdot \mathbf{b}=0$。

结论推广：向量减法 $\mathbf{a}-\mathbf{c}$ 的坐标是分量分别相减。

方法推广：算完可代回检验：$k=0$ 时 $\mathbf{a}-\mathbf{c}=(3,-1)$，与 $(1,3)$ 数量积为 $0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-07 单-向量垂直定参
• 2009-浙江卷文-05 单-向量坐标运算
• 2009-江苏卷-02 填-向量数量积