2012-重庆卷理-11 填-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数形式乘法运算，以及虚数单位的性质。

📌【题干】

Question

（2012年重庆卷(理)） 若 $(1+i)(2+i)=a+bi$，其中 $a,b\in \mathbb{R}$，$i$ 为虚数单位，则 $a+b=$ $\underline{}$.

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✅【答案】

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4

✍【详细解析】

Abstract

根据复数的代数运算法则，首先对等式左边的复数乘积进行多项式展开： $(1+i)(2+i)=1\times 2+1\times i+i\times 2+i\times i$ $=2+i+2i+i^2$

根据虚数单位 $i$ 的核心性质 $i^2=-1$，代入上式中： $=2+3i+(-1)$

将实部常数项进行合并，整理成标准的复数代数形式： $=(2-1)+3i=1+3i$

由此可得原方程变形为： $1+3i=a+bi$

因为已知 $a,b\in \mathbb{R}$，根据两个复数相等的充要条件（实部与虚部分别相等），对应建立方程： $\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}$

题目要求计算 $a+b$ 的值，代入计算： $a+b=1+3=4$

填空题答案为：4

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数性质 $i^2=-1$ 的代入化简、复数乘法分配律公式 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$、复数实部虚部一一对应相等。
2. 核心方法：实虚部分离法。在处理任何复数方程或代数恒等式时，将所有项规范拆分为“不带 $i$ 的纯实数项合集”与“带有 $i$ 的纯虚数项合集”，是解决复数问题的标准规范。
3. 避坑指南：

• 虚数平方符号弄错：考生在计算 $i\times i=i^2$ 时，容易因粗心习惯性写成 $+1$。切记 $i^2$ 必然带来一次正负号的反转。
• 虚部误带字母 $i$：在提取虚部 $b$ 时，部分考生误认为 $b=3i$。牢记复数 $a+bi$ 的虚部指的是 $i$ 前面的实数系数 $b$，不包含 $i$ 本身。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第三章《复数》中关于复数代数运算的课后标准基础练习题。作为填空题的开篇第一题，属于常规基本功送分题。
2. 结论推广:

• 复数连续乘积和的代数通用模型：对于任意两个特征复数的乘积 $(x+i)(y+i)=a+bi(x,y\in \mathbb{R})$。
• 经多项式展开可得： $(xy-1)+(x+y)i=a+bi$。
• 依据对应相等，可直接推导得出求解两对应实虚部之和 $a+b$ 的一般化通用推广公式： $a+b=xy+x+y-1=(x+1)(y+1)-2$
• 本题中 $x=1,y=2$，直接套用此推广速算公式： $a+b=(1+1)(2+1)-2=2\times 3-2=4$。熟记这一整式展开因式，在面对任何同类型复数相乘求各项系数和的题目时，均可实现直接口算。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

• 02.01 常用逻辑用语 类题演练 (Links)

• 1989-全国卷理-07 单-复数与共轭的模

• 2010-江西卷理-01 单-复数

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义