2012-陕西卷文-02 单-奇函数与单调性

本题导读

本题考查函数的奇偶性，以及函数的单调性。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()

A. $y=x+1$　　　　　B. $y=-x^3$　　　　　C. $y=\frac{1}{x}$　　　　　D. $y=x|x|$

🔍【思路分析】

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$y=x|x|$（$x<0$ 时 $-x^2$，$x⩾0$ 时 $x^2$）两段均递增且在 $x=0$ 处连续，既是奇函数又是增函数，故选 D

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

（A）$y=x+1$ 非奇非偶，排除。

（B）$y=-x^3$ 是奇函数，但在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，排除。

（C）$y=\frac{1}{x}$ 是奇函数，但它只在 $(-\infty ,0)$ 与 $(0,+\infty )$ 上分别递减，在整个定义域上不是增函数（取 $x_1=1$，$x_2=2$，则 $f(1)=1>f(2)=\frac{1}{2}$，不满足增函数的定义），排除。

（D）$y=x|x|$：$x<0$ 时 $y=-x^2$（递增），$x⩾0$ 时 $y=x^2$（递增），且 $y(-x)=-y(x)$，图象在 $x=0$ 处连续衔接，故既是奇函数又是增函数。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇偶性的定义；分段函数的单调性；反比例函数的单调性表示

核心方法：先筛奇偶性（快的判据），再在剩下的选项里逐段检验单调性

避坑指南：$y=\frac{1}{x}$ 只能说”在 $(-\infty ,0)$ 和 $(0,+\infty )$ 上分别递减”，不能说”在定义域上递减”，同理也不能说递增；$y=x|x|$ 写成 $x^2$ 与 $-x^2$ 的分段形式后，按定义逐条即可查验。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇函数与单调性结合的选项判断题，与 2014 年广东卷文第 5 题、2015 年山东卷文第 8 题同族。

结论推广：$y=x|x|=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x⩾0,\\ -x^2,& x<0\end{array}$ 是”奇函数 + 单调递增”的典型分段模型；一般地，$y=x\phi (|x|)$（$\phi$ 递增、非负值）兼具奇性与单调性。

方法推广：判断”既是奇（偶）函数又是增（减）函数”，先排除奇偶性不合的，再对剩下逐项写分段解析式查单调。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-05 单-奇函数
• 2015-山东卷文-08 单-奇函数
• 2012-上海卷文-09 填-奇函数求值