2015-山东卷文-08 单-奇函数

本题导读

先用 $f(-x)=-f(x)$ 恒成立求出 $a$，把函数变具体；再令 $t=2^x$ 把 $f(x)>3$ 化成关于 $t$ 的分式不等式。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 若函数 $f(x)=\frac{2^x+1}{2^x-a}$ 是奇函数，则使 $f(x)>3$ 成立的 $x$ 的取值范围为 ()

A. $(-\infty ,-1)$　　　　B. $(-1,0)$　　　　C. $(0,1)$　　　　D. $(1,+\infty )$

🔍【思路分析】

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先用 $f(-x)=-f(x)$ 恒成立求出 $a$，把函数变具体；再令 $t=2^x$ 把 $f(x)>3$ 化成关于 $t$ 的分式不等式。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

求 $a$：由 $f(-x)=-f(x)$，即 $\frac{2^{-x}+1}{2^{-x}-a}=-\frac{2^x+1}{2^x-a}$。

左端分子分母同乘 $2^x$ 得 $\frac{1+2^x}{1-a\cdot 2^x}$，整理得

$(1-a)(2^x+1{)}^2=0$ 对一切 $x$ 成立，故 $a=1$，即 $f(x)=\frac{2^x+1}{2^x-1}$。

解不等式：令 $t=2^x>0$（$t\ne 1$），$f(x)>3$ 即 $\frac{t+1}{t-1}>3$，

移项通分 $\frac{t+1-3t+3}{t-1}>0⟺\frac{2(2-t)}{t-1}>0⟺1<t<2$。

由 $1<2^x<2$ 得 $0<x<1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：奇函数的定义；指数不等式与分式不等式

核心方法：定义法求参数 + 换元法解不等式

避坑指南：（1）求 $a$ 时也可用特值：$f(-1)=-f(1)$ 代入解 $a$，但要代回检验恒成立；（2）分式不等式必须移项通分，两边同乘 $(t-1)$ 而不讨论符号是常见错误；（3）定义域 $2^x-1\ne 0$ 即 $x\ne 0$，答案区间 $(0,1)$ 恰好不含 0。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以”奇函数定参”为跳板的复合小题，把函数性质与不等式求解串在一题里，是山东卷选择题的典型格局。

结论推广：更快的特值法：奇函数若在 $x=0$ 处有定义则 $f(0)=0$，但本题 $f(0)=\frac{2}{-a}$ 无零点，说明 0 不在定义域内，须用 $f(-1)=-f(1)$。

方法推广：“先定性（求参数）后定量（解不等式）“的两段式处理，适用于一切”含参性质函数 + 不等式”小题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2015-山东卷理-10 单-分段函数
• 2013年山东卷理-8
• 2012年山东卷理-8