2012-陕西卷文-06 单-点与圆位置关系

本题导读

本题考查圆的标准方程，以及点与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 已知圆 $C:x^2+y^2-4x=0$，$l$ 是过点 $P(3,0)$ 的直线，则()

A. $l$ 与 $C$ 相交　　　　　　　　　　　　B. $l$ 与 $C$ 相切

C. $l$ 与 $C$ 相离　　　　　　　　　　　　D. 以上三个选项均有可能

🔍【思路分析】

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$(x-2{)}^2+y^2=4$，$|PO|=1<2$，$P$ 在圆内，故过 $P$ 的任何直线都与圆相交，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程配方：$x^2+y^2-4x=0⟺(x-2{)}^2+y^2=4$，故圆心 $C(2,0)$，半径 $r=2$。

$P(3,0)$ 到圆心的距离 $|PC|=\sqrt{(3-2{)}^2+0^2}=1<2=r$，即 $P$ 在圆内。

过圆内一点的任意直线都与圆相交于两点，故 $l$ 与 $C$ 相交。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的一般方程化标准方程；点与圆的位置关系；直线与圆位置关系的判定

核心方法：先配方得圆心半径，再用点与圆心的距离与半径比较；点在圆内则”任意过该点的直线都相交”

避坑指南：本题的陷阱是直觉”过一点的直线位置不确定”而误选（D）；位置关系之所以确定，是因为点在圆内——若点在圆上则相切或相交，点在圆外才三种都可能。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与圆位置关系判断题，与 2013 年陕西卷文第 8 题、2014 年安徽卷文第 6 题同族。

结论推广：点 $P$ 在圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 内 $⟺(a-x_0{)}^2+(b-y_0{)}^2<r^2$；圆内一点出发的直线与圆必有两交点，弦长最短的是垂直于该点与圆心连线的弦。

方法推广：判断直线与圆的位置关系，优先转化为”点与圆的位置”或”圆心到直线的距离与半径比较”两个代数判据。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.03 点与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷文-08 单-直线与圆位置关系
• 2014-安徽卷文-06 单-直线与圆
• 2014-福建卷文-11 单-直线与圆