2014-福建卷文-11 单-直线与圆

本题导读

本题由“圆 $C$ 与 $x$ 轴相切”把圆心约束到直线 $b=1$（半径为 1 且在 $x$ 轴上方），再在可行域内求 $a^2+b^2$ 的最大值。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(文)） 圆 $C:(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=1$ 的圆心 $C$ 落在区域 $\Omega :x+y-7⩽0,x-y+3⩾0,y⩾0$ 内，且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切，求 $a^2+b^2$ 的最大值.()

A. $5$　B. $29$　C. $37$　D. $49$

🔍【思路分析】

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半径为 1 且与 $x$ 轴相切，结合 $y⩾0$ 得圆心纵坐标 $b=1$；代入 $\Omega$ 的前两条不等式得 $a$ 的范围；$a^2+b^2$ 即圆心到原点距离的平方，取边界端点。

✅【答案】

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$a^2+b^2$ 的最大值

✍【详细解析】

详细解析

由相切与 $y⩾0$ 得 $b=1$。圆心 $(a,1)\in \Omega$：$a+1-7⩽0\Rightarrow a⩽6$；$a-1+3⩾0\Rightarrow a⩾-2$。故 $a^2+b^2=a^2+1$ 在 $a=6$ 处取最大值 $36+1=37$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆相切的条件、平面区域中的最值
2. 核心方法：相切 $\iff$ 圆心到直线距离等于半径
3. 避坑指南：由“与 $x$ 轴相切”只能得 $|b|=1$，必须再借助 $y⩾0$ 才能锁定 $b=1$；$a^2+1$ 在 $[-2,6]$ 上的最大值看离原点远的端点 $a=6$，误在 $a=-2$ 处取等就得到 5。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题把圆的位置约束（相切）与线性规划（可行域）嫁接在一起，是福建卷的招牌式小题。
2. 结论推广: 把区域改成三角形内部（不含边界），则 $a^2+b^2$ 无最大值只有上确界——最值的存在性随边界开闭而变。
3. 方法推广: 解析几何中的最值常有两解路径：几何意义（距离平方）或参数代入后用不等式，本题两条路都通，几何路更快。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 17.00 知识网络

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-11 填-简单的线性规划问题
• 2014-新课标I卷理-20 解-椭圆方程与性质