2012-陕西卷文-09 单-导数极值点

本题导读

本题考查利用导数研究函数的极值。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(文)） 设函数 $f(x)=\frac{2}{x}+\ln x$，则()

A. $x=\frac{1}{2}$ 为 $f(x)$ 的极大值点　　　　B. $x=\frac{1}{2}$ 为 $f(x)$ 的极小值点

C. $x=2$ 为 $f(x)$ 的极大值点　　　　D. $x=2$ 为 $f(x)$ 的极小值点

🔍【思路分析】

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$f^{\prime }(x)=\frac{x-2}{x^2}$，在 $(0,2)$ 为负、$(2,+\infty )$ 为正，故 $x=2$ 为极小值点，选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

定义域为 $(0,+\infty )$。

$f^{\prime }(x)=-\frac{2}{x^2}+\frac{1}{x}=\frac{x-2}{x^2}$。

因为 $x^2>0$，所以 $f^{\prime }(x)$ 的符号由 $x-2$ 决定：

$0<x<2$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 递减；$x>2$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 递增。

所以 $x=2$ 为 $f(x)$ 的极小值点（$f(2)=1+\ln 2$）。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的运算法则；极值点的判定（导数变号）

核心方法：求导 → 通分整理成 $\frac{x-2}{x^2}$ → 由分母恒正得符号由分子决定 → 左负右正为极小

避坑指南：$x=\frac{1}{2}$ 处 $f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{1}{4}}=-6\ne 0$，根本不是驻点，更不是极值点；判定极值必须看导数在两侧变号，不能只看 $f^{\prime }(x_0)=0$ 与否。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数极值点判断题，与 2013 年湖北卷文第 10 题、2013 年浙江卷理第 8 题同族。

结论推广：$f(x)=\frac{a}{x}+\ln x$ 型（$a>0$）在 $x=a$ 处取得极小值 $1+\ln a$，这是”反比例 + 对数”结构的一般结论。

方法推广：极值点判断题固定三步：定定义域 → 求导并整理成易判号的分式 → 查符号变化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2013-湖北卷文-10 单-对数函数极值点
• 2013-新课标II卷理-10 单-导数极值
• 2013-浙江卷理-08 单-导数极值