2011-福建卷文-10 单-极值与均值不等式

本题导读

本题考查导数与极值，以及均值不等式。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(文)） 若 $a>0$，$b>0$，且函数 $f(x)=4x^3-a{x}^2-2bx+2$ 在 $x=1$ 处有极值，则 $ab$ 的最大值等于 ()

A. $2$　　　　　　　B. $3$　　　　　　　C. $6$　　　　　　　D. $9$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：$f^{\prime }(1)=0\Rightarrow a+b=6$
2. 步骤2：再用 $ab⩽{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$

✅【答案】

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D最大值为 $9$

✍【详细解析】

Abstract

$f^{\prime }(x)=12x^2-2ax-2b$。

由 $x=1$ 为极值点：$f^{\prime }(1)=12-2a-2b=0$，即 $a+b=6$。

由均值不等式（$a$，$b>0$）：$ab⩽{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=9$，当且仅当 $a=b=3$ 时取等。

验证：$a=b=3$ 时 $f^{\prime }(x)=12x^2-6x-6=6(2x+1)(x-1)$，$x=1$ 两侧 $f^{\prime }$ 变号，确为极值点，故 $ab$ 最大值为 $9$。选 D。

（注：部分资料印作 $3$，系笔误——$a+b=6$ 时 $ab⩽9$，$3$ 并非上界。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极值点的必要条件；均值不等式求积的最值

核心方法：极值点给一个等式 $a+b=6$（和定），积的最大用均值不等式

避坑指南：“和定积最大”：$ab⩽{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$，取等要求 $a=b$；极值点只给必要条件 $f^{\prime }(1)=0$，收尾应验证 $f^{\prime }$ 在 $x=1$ 两侧变号（本题 $a=b=3$ 时确实变号，等号可取）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极值点与均值不等式综合题与 2012-陕西卷文-09、2013-安徽卷文-10、2011-上海卷文-16 同族。

结论推广：推广：三次函数 $f(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$ 在 $x_0$ 取极值 $⟺f^{\prime }(x_0)=0$ 且 $f^{\prime }$ 在 $x_0$ 两侧变号；本题条件给出线性约束 $a+b=6$，把二元最值化为一元。

方法推广：导数与不等式综合小题：极值条件 $\to$ 参数等式 $\to$ 目标式用均值不等式（或消元）求最值，最后验证取等条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2012-陕西卷文-09 单-导数极值点
• 2013-安徽卷文-10 单-极值复合零点
• 2011-上海卷文-16 单-均值不等式恒成立