2012-陕西卷理-07 单-导数的极值

本题导读

本题考查导数与极值点的判定，以及利用导函数符号判断极值。

📌【题干】

Question

（2012年陕西卷(理)） 设函数 $f(x)=x{e}^x$，则()

A. $x=1$ 为 $f(x)$ 的极大值点 B. $x=1$ 为 $f(x)$ 的极小值点 C. $x=-1$ 为 $f(x)$ 的极大值点 D. $x=-1$ 为 $f(x)$ 的极小值点

🔍【思路分析】

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1. 求导 $f^{\prime }(x)=e^x(x+1)$。
2. 令 $f^{\prime }(x)=0$ 得 $x=-1$。
3. 判断 $x=-1$ 左右导函数符号，确定极值类型。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=x{e}^x$，$f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=e^x(x+1)$。 令 $f^{\prime }(x)=0$，$x=-1$。 当 $x<-1$ 时 $f^{\prime }(x)<0$（$f$ 递减），当 $x>-1$ 时 $f^{\prime }(x)>0$（$f$ 递增）。 故 $x=-1$ 为极小值点。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义

核心方法：极值点的判定

避坑指南：导函数符号分析

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于导数与极值

结论推广：可推广到含参数的极值问题

方法推广：极值点需导数为 $0$ 且左右异号

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值 类题演练 (Links)

• 2006-江西卷理-17 解-函数在闭区间上的最值与恒成立问题

• 2008-四川卷文-20 解-五次函数极值定参

• 2008-安徽卷文-20 解-导数极值恒成立