2013-上海卷文-11 填-古典概型积偶

本题导读

本题考查古典概型，以及组合数。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 盒子中装有编号为 $1,2,3,4,5,6,7$ 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是$\underline{}$.（结果用最简分数表示）

🔍【思路分析】

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1. 总数：${\mathrm{C}}_7^2=21$。
2. 反面：“积为奇数” ⇔ 两球编号都是奇数；$1\sim 7$ 中奇数有 $1,3,5,7$ 共 $4$ 个 → ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。
3. 积为偶数：$21-6=15$ 种 → $P=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}$。

✅【答案】

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$\frac{5}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

从 $7$ 个球中任取 $2$ 个，共有 ${\mathrm{C}}_7^2=21$ 种等可能取法。 两球编号之积为奇数，当且仅当两个编号都是奇数；$1\sim 7$ 中奇数为 $1,3,5,7$，共 $4$ 个，故积为奇数的取法有 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种。 于是”积为偶数”的取法有 $21-6=15$ 种，所求概率为 $P=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}.$ （正面向上直接数也可以：两球皆为偶数 ${\mathrm{C}}_3^2=3$ 种，一奇一偶 ${\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_3^1=12$ 种，合计 $15$ 种，与反面计数一致。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型（正难则反）

核心方法：${\mathrm{C}}_7^2=21$；积为奇数 ⇔ 两球编号都是奇数，$1\sim 7$ 中奇数 $4$ 个 → ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种；积为偶数 $=21-6=15$ 种 → $P=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}$

避坑指南：“正难则反”：直接数”积为偶数”要分两偶、一奇一偶两类，容易漏；反面”积为奇数”只有一类（两球都奇数）；★ 2013 年官方答案即 $\frac{5}{7}$，个别资料误印为 $\frac{6}{7}$（把 ${\mathrm{C}}_4^2=6$ 当成了最终分子），以本库复核为准

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“编号之积的奇偶性 + 古典概型”是排列组合与概率的基础综合，与 2013 安徽文 5 的古典概型题同型。

结论推广：取两球事件总数 ${\mathrm{C}}_n^2$；“积为奇数” ⇔ 两数皆奇，用对立事件把复杂的正面拆解换成单一反面，是计数题的第一省力动作。

方法推广：涉及奇偶性（整除性）的乘积概率题，先看反面是否只有一类；若正面分类数多于反面，一律用 $P(A)=1-P(\bar{A})$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷文-05 单-古典概型录用
• 2013-山东卷文-17 解-古典概型
• 2013-天津卷文-15 解-古典概型与估计