2013-上海卷文-14 填-向量点积最小

本题导读

本题考查平面向量的数量积，以及平面向量的坐标运算。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $1$.记以 $A$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,{\vec{a}}_3$；以 $C$ 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 ${\vec{c}}_1,{\vec{c}}_2,{\vec{c}}_3$.若 $i,j,k,l\in \{1,2,3\}$ 且 $i\ne j$，$k\ne l$，则 $({\vec{a}}_i+{\vec{a}}_j)\cdot ({\vec{c}}_k+{\vec{c}}_l)$ 的最小值是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 建系 $A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(1,1)$，$D(0,1)$。
2. ${\vec{a}}_1=(1,0)$，${\vec{a}}_2=(1,1)$，${\vec{a}}_3=(0,1)$；${\vec{c}}_1=(-1,-1)$，${\vec{c}}_2=(0,-1)$，${\vec{c}}_3=(-1,0)$。
3. 和向量：${\vec{a}}_i+{\vec{a}}_j\in \{(2,1),(1,1),(1,2)\}$；${\vec{c}}_k+{\vec{c}}_l\in \{(-1,-2),(-2,-1),(-1,-1)\}$。
4. 枚举 $9$ 个点积，最小值 $-5$（如 $(2,1)\cdot (-2,-1)=-5$）。

✅【答案】

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$-5$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点、$AB$ 与 $AD$ 所在直线为坐标轴建系：$A(0,0)$，$B(1,0)$，$C(1,1)$，$D(0,1)$。 以 $A$ 为起点的三个向量： ${\vec{a}}_1=\overrightarrow{AB}=(1,0),{\vec{a}}_2=\overrightarrow{AC}=(1,1),{\vec{a}}_3=\overrightarrow{AD}=(0,1).$ 以 $C$ 为起点的三个向量： ${\vec{c}}_1=\overrightarrow{CA}=(-1,-1),{\vec{c}}_2=\overrightarrow{CB}=(0,-1),{\vec{c}}_3=\overrightarrow{CD}=(-1,0).$ 由 $i\ne j$，${\vec{a}}_i+{\vec{a}}_j$ 共三种：$(2,1)$，$(1,1)$，$(1,2)$；由 $k\ne l$，${\vec{c}}_k+{\vec{c}}_l$ 共三种：$(-1,-2)$，$(-2,-1)$，$(-1,-1)$。 逐一计算点积： $(2,1)\cdot (-1,-2)=-4,(2,1)\cdot (-2,-1)=-5,(2,1)\cdot (-1,-1)=-3,$ $(1,1)\cdot (-1,-2)=-3,(1,1)\cdot (-2,-1)=-3,(1,1)\cdot (-1,-1)=-2,$ $(1,2)\cdot (-1,-2)=-5,(1,2)\cdot (-2,-1)=-4,(1,2)\cdot (-1,-1)=-3.$ 最小值为 $-5$（在 $({\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2)\cdot ({\vec{c}}_1+{\vec{c}}_3)$ 与 $({\vec{a}}_2+{\vec{a}}_3)\cdot ({\vec{c}}_1+{\vec{c}}_2)$ 处取得）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：平面向量的数量积（枚举最值）

核心方法：建系 $A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1)$：${\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2=(2,1)$，${\vec{c}}_1+{\vec{c}}_3=(-2,-1)$，点积 $=-5$ 为最小

避坑指南：${\vec{a}}_i+{\vec{a}}_j$（$i\ne j$）只有 $3$ 种、${\vec{c}}_k+{\vec{c}}_l$ 也只有 $3$ 种，枚举 $9$ 种组合即可，别漏掉 ${\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2$（两条邻边）与 ${\vec{c}}_1+{\vec{c}}_3$（对角线反向 + 一条边反向）的搭配；数量积是数，正负都可能取到最小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正方形背景下的向量组合点积，本质是”坐标枚举 + 数量积”，与 2013 天津文 12 的向量数量积题同型。

结论推广：向量组合的数量积最值问题：若各组和向量只有少数几种，直接建系统一枚举最稳妥；一般情形则先把 $({\vec{a}}_i+{\vec{a}}_j)\cdot ({\vec{c}}_k+{\vec{c}}_l)$ 展开成四个数量积之和再分析。

方法推广：向量小题第一动作是”能不能建系”：正方形是天然坐标系，建系后所有向量变成坐标，数量积变成代数运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷文-12 填-向量数量积求边长
• 2013-北京卷文-14 填-向量线性表示面积
• 2013-四川卷文-12 填-向量线性运算