2013-四川卷文-12 填-向量线性运算

本题导读

本题考查平面向量的线性运算，以及平行四边形法则。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\lambda \overrightarrow{AO}$，则 $\lambda =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$。
2. $O$ 为 $AC$ 中点 → $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$。
3. 故 $\lambda =2$。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由平行四边形法则， $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}.$ 平行四边形的对角线互相平分，$O$ 是 $AC$ 的中点，故 $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}.$ 于是 $\lambda =2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量加法的平行四边形法则

核心方法：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$，$O$ 为 $AC$ 中点 → $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}$ → $\lambda =2$

避坑指南：平行四边形对角线互相平分，$O$ 恰是 $AC$ 的中点；把 $\overrightarrow{AO}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的倍数关系写反（$\lambda =\frac{1}{2}$）是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：平面向量的线性运算。

结论推广：平行四边形法则；中点向量式。

方法推广：和化为对角线向量 → 用中点关系 → 定 $\lambda$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷文-13 填-向量数量积
• 2014-新课标I卷文-06 单-向量中点
• 2013-天津卷文-12 填-向量数量积求边长