2013-上海卷文-15 单-反函数求值

本题导读

本题考查反函数。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 函数 $f(x)=x^2-1$（$x⩾1$）的反函数为 $f^{-1}(x)$，则 $f^{-1}(2)$ 的值是()

A. $\sqrt{3}$　　　　　　B. $-\sqrt{3}$　　　　　　C. $1+\sqrt{2}$　　　　　　D. $1-\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f^{-1}(2)=a$ ⇔ $f(a)=2$，即 $a^2-1=2$。
2. $a^2=3$ → $a=\pm \sqrt{3}$。
3. 原函数定义域 $x⩾1$，故 $a⩾1$，取 $a=\sqrt{3}$ → A。

✅【答案】

点击查看答案

（A）

✍【详细解析】

Abstract

由反函数的定义，$f^{-1}(2)=a$ 等价于 $f(a)=2$，即 $a^2-1=2\Rightarrow a^2=3\Rightarrow a=\pm \sqrt{3}.$ 原函数 $f(x)=x^2-1$ 的定义域为 $x⩾1$，这也是反函数的值域，故 $a⩾1$。 因此 $a=\sqrt{3}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数求值

核心方法：$f^{-1}(2)=a$ ⇔ $f(a)=2$：$a^2-1=2$ → $a=\pm \sqrt{3}$，由原函数定义域 $a⩾1$ 取 $a=\sqrt{3}$ → A

避坑指南：反函数求值转化为解原函数方程，最后一步必须用原函数的定义域 $x⩾1$ 筛掉 $-\sqrt{3}$；把 $f^{-1}(2)$ 误算成 $f(2)$ 是最常见错误

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：反函数 $f^{-1}(b)$ 的求值本质上就是解方程 $f(x)=b$，与 2013 大纲文 6 的反函数题同法。

结论推广：$f^{-1}(y_0)=x_0$ ⇔ $f(x_0)=y_0$ 且 $x_0$ 在原函数定义域内；反函数的定义域 = 原函数的值域。

方法推广：求 $f^{-1}(b)$ 不必先求出 $f^{-1}(x)$ 的解析式，直接解 $f(x)=b$ 更快；解出的多个根用原函数定义域（或单调性）筛选。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-06 单-反函数
• 2014-大纲卷文-05 单-反函数
• 2015-上海卷文-04 填-反函数