2014-大纲卷文-05 单-反函数

本题导读

反解得 $x=(e^y-1{)}^3$，原函数值域为 $\mathbf{R}$，反函数为 $y=(e^x-1{)}^3$（$x\in \mathbf{R}$），选 D。

📌【题干】

Question

（2014年大纲卷(文)） 函数 $y=\ln \left(\sqrt[3]{x}+1\right)$ $(x>-1)$ 的反函数是()

A. $y=(1-e^x{)}^3$ $(x>-1)$　　　　　　　　　　　B. $y=(e^x-1{)}^3$ $(x>-1)$

C. $y=(1-e^x{)}^3$ $(x\in \mathbf{R})$　　　　　　　　　　　　D. $y=(e^x-1{)}^3$ $(x\in \mathbf{R})$

🔍【思路分析】

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反解得 $x=(e^y-1{)}^3$，原函数值域为 $\mathbf{R}$，反函数为 $y=(e^x-1{)}^3$（$x\in \mathbf{R}$），选 D。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\ln \left(\sqrt[3]{x}+1\right)$ 得 $e^y=\sqrt[3]{x}+1$，$\sqrt[3]{x}=e^y-1$，$x=(e^y-1{)}^3$。

交换 $x$、$y$：反函数为 $y=(e^x-1{)}^3$。

定义域 = 原函数的值域：$x>-1$ 时 $\sqrt[3]{x}>-1$，$\sqrt[3]{x}+1>0$，其对数取遍 $\mathbf{R}$，故反函数定义域为 $\mathbf{R}$。

选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的求法；对数与指数互化

2. 核心方法：反解 → 互换 → 用原函数值域定反函数定义域

3. 避坑指南：①$e^y=\sqrt[3]{x}+1$ 移项得 $\sqrt[3]{x}=e^y-1$，是”减 1”而不是”加 1”；②定义域由原函数的值域决定：值域是 $\mathbf{R}$，故 $x\in \mathbf{R}$——四个选项正是靠定义域区分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 反函数基础题（doc 考点定位：函数），与 2015 年新课标Ⅰ文第 12 题（反函数）同族。

2. 结论推广: 一般地，$y=\ln (g(x))$ 的反函数先化为 $e^y=g(x)$ 再反解；反函数定义域 = 原函数值域，不能只看解析式。

3. 方法推广: 求反函数三步：反解 → 互换 $x,y$ → 依原函数值域写定义域。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数
• 1990-上海卷-02 填-反函数的求解