2013-上海卷文-18 单-椭圆与极限

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质，以及数列的极限。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 记椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{n{y}^2}{4n+1}=1$ 围成的区域（含边界）为 ${\Omega }_n$（$n=1,2,\cdots$）.当点 $(x,y)$ 分别在 ${\Omega }_1$、${\Omega }_2$、$\cdots$ 上时，$x+y$ 的最大值分别是 $M_1$、$M_2$、$\cdots$，则 ${\lim }_{n\to \infty }{M}_n=$()

A. $0$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $2\sqrt{2}$

🔍【思路分析】

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1. 标准形：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{4n+1}{n}}=1$，半长轴 $a=2$，半短轴 $b_n=\sqrt{\frac{4n+1}{n}}$。
2. 参数化：$x=2\cos \theta$，$y=b_n\sin \theta$，则 $x+y=2\cos \theta +b_n\sin \theta$。
3. 振幅即最大值：$M_n=\sqrt{2^2+b_n^2}=\sqrt{4+\frac{4n+1}{n}}=\sqrt{8+\frac{1}{n}}$。
4. 取极限：${\lim }_{n\to \infty }{M}_n=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ → D。

✅【答案】

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（D）

✍【详细解析】

Abstract

椭圆方程可化为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{4n+1}{n}}=1,$ 其半长轴为 $a=2$（沿 $x$ 轴），半短轴为 $b_n=\sqrt{\frac{4n+1}{n}}.$ 区域 ${\Omega }_n$ 是含边界的凸闭区域，而 $x+y$ 是线性函数，故其最大值必在边界（即椭圆本身）上取到。 令 $x=2\cos \theta ,y=b_n\sin \theta (0⩽\theta <2\pi ),$ 则 $x+y=2\cos \theta +b_n\sin \theta =\sqrt{4+b_n^2}\sin (\theta +\phi ),$ 其中 $\tan \phi =\frac{2}{b_n}$。因此 $M_n=\sqrt{4+b_n^2}=\sqrt{4+\frac{4n+1}{n}}=\sqrt{8+\frac{1}{n}}.$ 当 $n\to \infty$ 时 $\frac{1}{n}\to 0$，所以 ${\lim }_{n\to \infty }{M}_n=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.$ 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆上线性目标函数的最值与数列极限

核心方法：椭圆化为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{\frac{4n+1}{n}}=1$，半长轴 $2$、半短轴 $\sqrt{\frac{4n+1}{n}}$；参数化 $x=2\cos \theta$、$y=b_n\sin \theta$ 得 $x+y$ 的最大值 $M_n=\sqrt{4+\frac{4n+1}{n}}=\sqrt{8+\frac{1}{n}}\to 2\sqrt{2}$ → D

避坑指南：含边界的凸闭区域上，线性函数的最大值一定在边界上取到，无需考虑内部；参数方程 + 辅助角公式把 $x+y$ 合并成一个正弦，其最大值就是振幅 $\sqrt{A^2+B^2}$；最后别忘了 $n\to \infty$ 时 $\frac{1}{n}\to 0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“椭圆 + 线性目标 + 极限”是上海卷把解析几何与数列极限串联起来的特色小题，与 2014 上海文 18 的区域最值题同属”区域型问题”。

结论推广：椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 上 $x+y$ 的最大值为 $\sqrt{a^2+b^2}$；本题 $a=2$、$b^2=\frac{4n+1}{n}$，故 $M_n=\sqrt{8+\frac{1}{n}}$，随 $n$ 增大单调递减趋近 $2\sqrt{2}$。

方法推广：求区域最值先判断”内部还是边界”：目标函数线性、区域为含边界凸闭区域时最值必在边界；边界是椭圆就参数化，把二元条件极值化为三角函数最值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-09 单-椭圆离心率
• 2013-北京卷文-19 解-椭圆与菱形
• 2013-北京卷文-12 填-线性规划距离