2012-上海卷文-07 填-无穷等比数列求和

本题导读

本题考查等比数列，以及无穷等比数列的和。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 有一列正方体，棱长组成以 $1$ 为首项、$\frac{1}{2}$ 为公比的等比数列，体积分别记为 $V_1$，$V_2$，$\cdots$，$V_n$，$\cdots$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }(V_1+V_2+\cdots +V_n)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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体积比为 $1:\frac{1}{8}:\cdots$，公比 $\frac{1}{8}$，和为 $\frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{8}{7}$。

✅【答案】

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$\frac{8}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

正方体体积是棱长的立方，故 $\{V_n\}$ 是首项 $V_1=1^3=1$、公比 $q={\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$ 的等比数列。

由 $|q|=\frac{1}{8}<1$，无穷等比数列各项和 $S=\frac{V_1}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{8}}=\frac{8}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列的通项；无穷等比数列（$|q|<1$）各项和

核心方法：棱长公比立方得体积公比，套 $S=\frac{a_1}{1-q}$

避坑指南：体积公比是棱长公比的立方 $\frac{1}{8}$，别直接用 $\frac{1}{2}$；使用求和公式的前提是 $|q|<1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：无穷等比数列求和题，与 2014 年上海卷文第 10 题、2013 年上海卷文第 18 题同族。

结论推广：几何量成等比时，长度公比 $q$、面积公比 $q^2$、体积公比 $q^3$。

方法推广：先辨认”哪个量成等比、公比多少”，再选求和公式；$|q|<1$ 是收敛前提。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷文-10 填-无穷等比极限
• 2013-上海卷文-18 单-椭圆与极限
• 2013-上海卷文-02 填-等差数列性质