2013-北京卷文-19 解-椭圆与菱形

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质。核心在于菱形对角线性质、圆与椭圆联立消参的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 直线 $y=kx+m$（$m\ne 0$）与椭圆 $W:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 相交于 $A$，$C$ 两点，$O$ 是坐标原点.

(1)当点 $B$ 的坐标为 $(0,1)$，且四边形 $OABC$ 为菱形时，求 $AC$ 的长;

(2)当点 $B$ 在 $W$ 上且不是 $W$ 的顶点时，证明：四边形 $OABC$ 不可能为菱形.

🔍【思路分析】

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1. 菱形对角线互相垂直平分：$OB$ 在 $y$ 轴上 → $AC\perp OB$，且 $AC$ 中点为 $OB$ 中点 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$。
2. 纵坐标 $\frac{1}{2}$ 代入椭圆：$\frac{x^2}{4}=\frac{3}{4}$ → $x=\pm \sqrt{3}$，$AC=2\sqrt{3}$。
3. (2) 反证：$OA=OC$ → $A$、$C$ 同时在圆 $x^2+y^2=r^2$ 与椭圆上，相减消 $r$ 得横坐标相等或相反，两情形均推 $B$ 为顶点。

✅【答案】

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(1) $AC=2\sqrt{3}$；(2) 见解析（反证法）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 因为四边形 $OABC$ 为菱形，所以对角线 $AC$ 与 $OB$ 互相垂直平分。由 $O(0,0)$，$B(0,1)$ 知 $OB$ 在 $y$ 轴上，所以 $AC$ 是水平弦，且 $AC$ 的中点为 $OB$ 的中点 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$。因而 $A$、$C$ 的纵坐标均为 $\frac{1}{2}$。 代入椭圆方程： $\frac{x^2}{4}+\frac{1}{4}=1⟹x^2=3⟹x=\pm \sqrt{3}.$ 所以 $A$、$C$ 的坐标为 $\left(\pm \sqrt{3},\frac{1}{2}\right)$，于是 $AC=2\sqrt{3}.$ (2) 假设四边形 $OABC$ 为菱形，则 $OA=OC$。设 $OA=OC=r$，则 $A$、$C$ 同时满足圆方程 $x^2+y^2=r^2$ 和椭圆方程 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$。两式相减，得 $\frac{3}{4}{x}^2=r^2-1,$ 所以 $x_A^2=x_C^2$，即 $x_A=x_C$ 或 $x_A=-x_C$。 若 $x_A=x_C$：由于 $A\ne C$，直线 $AC$ 为竖直直线。菱形的对角线互相垂直，所以 $OB$ 为水平直线，进而 $y_B=0$。又 $B$ 在椭圆 $W$ 上，故 $\frac{x_B^2}{4}=1$，于是 $B=(2,0)$ 或 $B=(-2,0)$，这两个点都是椭圆 $W$ 的顶点。 若 $x_A=-x_C$：由菱形对角线互相平分，点 $B$ 是 $A$、$C$ 中点的两倍位置（$B=A+C$），因此 $x_B=x_A+x_C=0$。再由 $B\in W$，得 $y_B^2=1$，于是 $B=(0,1)$ 或 $B=(0,-1)$，同样是椭圆 $W$ 的顶点。 两种情形都与”点 $B$ 不是 $W$ 的顶点”矛盾，所以四边形 $OABC$ 不可能为菱形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆中的四边形与菱形存在性

核心方法：(1) 菱形对角线互相垂直平分：$OB$ 在 $y$ 轴上 → $AC$ 为水平弦、中点 $\left(0,\frac{1}{2}\right)$；(2) 反证：$OA=OC=r$ → $A$、$C$ 是圆 $x^2+y^2=r^2$ 与椭圆的交点 → 横坐标相等或互为相反数 → $B$ 必为顶点

避坑指南：“不可能”类问题首选反证法；(2) 的妙手是消去 $r$：$\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 与 $x^2+y^2=r^2$ 相减得 $\frac{3}{4}{x}^2=r^2-1$，横坐标只能”相等或相反”——两种情形都要逐一讨论到底，漏掉任何一种证明就不完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆与多边形综合、反证法（北京卷解析几何解答题风格）。

结论推广：菱形对角线互相垂直平分；平行四边形 $OABC$ 中 $OB$ 与 $AC$ 互相平分；圆 $x^2+y^2=r^2$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 联立相减消 $r$ 得 $\frac{3}{4}{x}^2=r^2-1$。

方法推广：“不可能为菱形”类证明：假设成立 → 用对称/方程组导出横坐标的两种可能 → 逐一推出与已知（$B$ 不是顶点）矛盾；椭圆与圆的公共点问题用两方程相减消参数。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷文-15 填-椭圆对称