2013-上海卷文-19 解-正三棱锥度量

本题导读

本题考查正三棱锥。核心在于勾股定理求斜高、正三角形的内切半径的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 如图，正三棱锥 $O-ABC$ 底面边长为 $2$，高为 $1$，求该三棱锥的体积及表面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 底面正三角形边长 $2$：底面上的高为 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，底面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}=\sqrt{3}$。
2. 体积 $V=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 1=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
3. 设 $H$ 为底面中心、$D$ 为 $AB$ 中点，则 $HD$ 为正三角形的内切半径 $=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
4. 侧面斜高 $OD=\sqrt{O{H}^2+H{D}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，每个侧面面积 $\frac{1}{2}\times 2\times \frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
5. 表面积 $S=\sqrt{3}+3\times \frac{2\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$。

✅【答案】

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体积 $V=\frac{\sqrt{3}}{3}$；表面积 $S=3\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

**（1）求体积。**底面 $△ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形，其高为 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3},$ 故底面积为 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{3}=\sqrt{3}.$ 三棱锥的高为 $h=1$，所以 $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 1=\frac{\sqrt{3}}{3}.$ **（2）求表面积。**设 $H$ 为正三角形 $ABC$ 的中心（即顶点 $O$ 在底面上的射影），$D$ 为 $AB$ 的中点。 正三角形的内切半径等于其高的 $\frac{1}{3}$，而底面上的高为 $\sqrt{3}$，故 $HD=\frac{\sqrt{3}}{3}.$ 在 Rt$△OHD$ 中，$OH=1$ 为棱锥的高，于是侧面 $△OAB$ 的高（斜高）为 $OD=\sqrt{O{H}^2+H{D}^2}=\sqrt{1^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{1}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.$ 每个侧面三角形的面积为 $\frac{1}{2}\times AB\times OD=\frac{1}{2}\times 2\times \frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3},$ 三个侧面的面积之和为 $3\times \frac{2\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$。 因此该三棱锥的表面积为 $S=S_{△ABC}+2\sqrt{3}=\sqrt{3}+2\sqrt{3}=3\sqrt{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱锥的体积与表面积

核心方法：底面正三角形边 $2$ → 高 $\sqrt{3}$、面积 $\sqrt{3}$，故 $V=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 1=\frac{\sqrt{3}}{3}$；底面内切半径 $HD=\frac{\sqrt{3}}{3}$，斜高 $OD=\sqrt{1^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故 $S=\sqrt{3}+3\times \frac{2\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$

避坑指南：求表面积别忘”一个底面 + 三个侧面”；斜高要在”高 $OH$、底面内切半径 $HD$、斜高 $OD$“组成的直角三角形里用勾股定；正三角形的内切半径等于其高的 $\frac{1}{3}$，别与 $\frac{\sqrt{3}}{2}$（高）混用

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：给正棱锥的基本量求体积与表面积，是上海卷立体几何小题的传统考法，与 2013 山东文 4 的三视图求侧面积题同一模型。

结论推广：正三棱锥（底边长 $a$、高 $h$）：底面积 $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$，底面内切半径 $\frac{\sqrt{3}}{6}a$，斜高 $\sqrt{h^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{6}a\right)}^2}$；特别地本题 $a=2$、$h=1$ 时斜高为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$。

方法推广：解立体几何”求度量”题：先画出”高 — 内切半径 — 斜高”直角三角形，把空间长度问题化为平面勾股问题；表面积按”底 + 各侧面”分块算再相加，防止漏面。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷文-04 单-三视图正四棱锥
• 2013-北京卷文-10 填-三视图体积
• 2013-广东卷文-06 单-三视图体积