2012-上海卷文-19 解-三棱锥体积与异面直线角

本题导读

本题考查锥体的体积。核心在于建系法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 如图，在三棱锥 $P-ABC$ 中，$PA\perp$ 底面 $ABC$，$D$ 是 $PC$ 的中点. 已知 $\angle BAC=\frac{\pi }{2}$，$AB=2$，$AC=2\sqrt{3}$，$PA=2$. 求：

(1)三棱锥 $P-ABC$ 的体积；

(2)异面直线 $BC$ 与 $AD$ 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）.

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🔍【思路分析】

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$V=\frac{4\sqrt{3}}{3}$；建系算得 $\cos \theta =\frac{3}{4}$，所成角为 $\arccos \frac{3}{4}$。

✅【答案】

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(1)$\frac{4\sqrt{3}}{3}$；(2)$\arccos \frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）$\angle BAC=\frac{\pi }{2}$，$S_{△ABC}=\frac{1}{2}\times AB\times AC=\frac{1}{2}\times 2\times 2\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。

$V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot PA=\frac{1}{3}\times 2\sqrt{3}\times 2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$。

（2）以 $A$ 为原点、$AB$、$AC$、$AP$ 所在直线为 $x$、$y$、$z$ 轴建系，则 $B(2,0,0)$，$C(0,2\sqrt{3},0)$，$P(0,0,2)$，$D(0,\sqrt{3},1)$。

$\overrightarrow{BC}=(-2,2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{AD}=(0,\sqrt{3},1)$。

$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{AD}|}=\frac{|0+2\sqrt{3}\times \sqrt{3}+0|}{\sqrt{4+12}\times \sqrt{3+1}}=\frac{6}{4\times 2}=\frac{3}{4}$。

故异面直线 $BC$ 与 $AD$ 所成的角为 $\arccos \frac{3}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：锥体体积公式；异面直线所成角的向量求法；反三角函数

核心方法：先算底面直角三角形面积，再建系求方向向量夹角

避坑指南：异面直线所成角取 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$，用夹角余弦的绝对值；上海卷要求反三角表示，最后一步必须写成 $\arccos \frac{3}{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三棱锥度量题，与 2013 年上海卷文第 10 题、2013 年上海卷文第 19 题同族。

结论推广：$PA\perp$ 底面时可用”等体积换底”或直接以直角三角形为底；两向量夹角余弦取绝对值即异面直线所成角的余弦。

方法推广：立体几何解答题：先算面积体积，再建系坐标化，最后按题目要求的形式给角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-10 填-异面直线所成角
• 2013-上海卷文-19 解-正三棱锥度量
• 2014-上海卷文-19 解-正四面体展开