2013-上海卷理-14 填-反函数

本题导读

本题考查反函数，以及定义域与值域。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 对区间 $I$ 上有定义的函数 $g(x)$，记 $g(I)=\{y\mid y=g(x),x\in I\}$.已知定义域为 $[0,3]$ 的函数 $y=f(x)$ 有反函数 $y=f^{-1}(x)$，且 $f^{-1}([0,1))=[1,2)$，$f^{-1}((2,4])=[0,1]$.若方程 $f(x)-x=0$ 有解 $x_0$，则 $x_0=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 反函数映射转换：
   • 根据反函数的定义，$f^{-1}(A)=B⟺f(B)=A$。
   • 条件 1：$f^{-1}([0,1))=[1,2)⟹$ 当 $x\in [1,2)$ 时，$f(x)\in [0,1)$。
   • 条件 2：$f^{-1}((2,4])=[0,1]⟹$ 当 $x\in [0,1]$ 时，$f(x)\in (2,4]$。
2. 分析方程 $f(x)=x$ 的解 $x_0$ 可能存在的区间：
   • 若 $x_0\in [0,1]$，则 $f(x_0)\in (2,4]$。可知 $f(x_0)>x_0$，故此区间无解。
   • 若 $x_0\in [1,2)$，则 $f(x_0)\in [0,1)$。可知 $f(x_0)<x_0$，故此区间无解。
   • 剩下的可能区间只能是 $x_0\in [2,3]$。
3. 利用值域的排他性确定 $x_0$：
   • 函数 $f(x)$ 具有反函数，说明其在定义域 $[0,3]$ 上是单射（一一对应）。
   • 此时 $f(x)$ 的总值域为 $f([0,3])=f([0,1])\cup f([1,2))\cup f([2,3])$。
   • 已知 $f([0,1])=(2,4]$，$f([1,2))=[0,1)$。
   • 为了使 $f(x)=x$ 在 $[2,3]$ 上有解，必须存在某个 $x_0\in [2,3]$ 使得 $f(x_0)=x_0$。
   • 观察数值：$x_0\in [2,3]$ 时，$f(x_0)$ 必须落在已知的空档 $[1,2]$ 中。

✅【答案】

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2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：翻译已知条件 由反函数定义可知：

1. $x\in [0,1]⟹f(x)\in (2,4]$。在此区间内，$f(x)>x$，无不动点。
2. $x\in [1,2)⟹f(x)\in [0,1)$。在此区间内，$f(x)<x$，无不动点。

第二步：锁定解的范围 由于定义域为 $[0,3]$，且前两个子区间均无解，若方程 $f(x)=x$ 有解 $x_0$，则必有 $x_0\in [2,3]$。

第三步：确定 $x_0$ 的具体值 因为 $f(x)$ 存在反函数，所以 $f(x)$ 的值域各部分互不相交。 目前已知值域已覆盖：$[0,1)\cup (2,4]$。 中间剩下的未分配值域区间为 $[1,2]$。 对于 $x\in [2,3]$，其对应的函数值 $f(x)$ 必须取自剩余的值域。 要使 $f(x_0)=x_0$，且 $x_0\in [2,3]$， 则 $f(x_0)$ 必须既在 $[2,3]$ 中，又在剩余值域 $[1,2]$ 中。 两个集合的交集：$[2,3]\cap [1,2]=\{2\}$。 因此，唯一的可能解是 $x_0=2$。

验证：当 $x_0=2$ 时，$f(2)=2$。此时 $2$ 既属于定义域区间 $[2,3]$，也属于值域中尚未被占用的部分。

故填入答案为：2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的定义域与值域的互换性；函数单射（一一对应）的性质。

核心方法：“区间排除法”。通过分析 $f(x)$ 与 $x$ 的大小关系，排除不可能存在解的区间，再利用值域的“空档”锁定解。

避坑指南：很多考生会卡在 $[2,3]$ 区间内 $f(x)$ 的解析式不确定。其实解析几何题目中，当条件看似不足时，往往隐含了“存在性”和“唯一性”的逻辑约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的单调性与反函数的关系（严格单调函数必有反函数）。

结论推广：若一个在 $[a,b]$ 上有反函数的函数满足 $f([a,c])=[d,b]$ 且 $f([c,e])=[a,d]$，那么解往往出现在这些区间的交界处。

方法推广：“区间排除法”。通过分析 $f(x)$ 与 $x$ 的大小关系，排除不可能存在解的区间，再利用值域的“空档”锁定解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-12 单-反函数
• 2015-上海卷文-04 填-反函数
• 2014-大纲卷文-05 单-反函数