2015-新课标I卷文-12 单-反函数

本题导读

选择题压轴。$f$ 与 $2^{x+a}$ 关于 $y=-x$ 对称 $⟺$ $(-v,x)$ 型坐标互换：把 $f(-2),f(-4)$ 的值”搬”到指数曲线上，两个方程解出 $a$ 后取公共值。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 设函数 $y=f(x)$ 的图象与 $y=2^{x+a}$ 的图象关于直线 $y=-x$ 对称，且 $f(-2)+f(-4)=1$，则 $a=$ ()

A. $-1$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 点 $(x_0,y_0)$ 关于 $y=-x$ 的对称点为 $(-y_0,-x_0)$。
2. $f(-2)=u⟺(-2,u)$ 在 $f$ 上 $⟺(u,2)$ 在 $2^{x+a}$ 上 $\Rightarrow 2=2^{u+a}$。
3. 同理 $f(-4)=v\Rightarrow 4=2^{v+a}$；$u+v=1$ 收口。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设 $f(-2)=u$，则点 $(-2,u)$ 在 $y=f(x)$ 的图象上；由两图象关于直线 $y=-x$ 对称，点 $(-u,2)$ 在 $y=2^{x+a}$ 的图象上，故

$2=2^{-u+a}⟹-u+a=1.(1)$

同理，设 $f(-4)=v$，则 $(-v,4)$ 在指数曲线上，故

$4=2^{-v+a}⟹-v+a=2.(2)$

$(1)+(2)$ 并利用 $u+v=f(-2)+f(-4)=1$：

$2a-(u+v)=3⟹2a-1=3⟹a=2.$

选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数图象的对称变换（关于 $y=-x$）；指数与对数互化；反函数概念。

2. 核心方法：“点的对称转移”：把函数值条件翻译为对称点的坐标条件，再化指数为方程。

3. 避坑指南：① 关于 $y=-x$ 对称的坐标规则是 $(x,y)\to (-y,-x)$，与关于 $y=x$（$(y,x)$）混淆是最大失分点；② 两个方程共用一个 $a$，最后要用 $u+v=1$ 联立而不是各自求 $a$ 后硬凑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“反函数 + 对称”是上海卷特色考题类型，全国卷在 2015 年以这道压轴选择题的形式引入，考查反函数的本质（图象关于 $y=x$ 对称的推广）。

2. 结论推广: 若对称轴改为 $y=x$（即两函数互为反函数），则 $f(x)={\log }_{2}x-a$；由 $f(-2)+f(-4)$ 无定义可知原题必须用 $y=-x$，这正解释了命题人为何选 $-x$。

3. 方法推广: 对称变换类问题的通用武器：一切对称都化为”点关于线对称”的坐标公式，把函数条件翻译成方程组。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 16.05 对称性问题

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-13 填-函数奇偶性