2013-上海卷理-22 解-双曲线的性质

本题导读

本题考查双曲线的性质。核心在于定义分析法、联立方程判定判别式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 如图，已知曲线 $C_1:\frac{x^2}{2}-y^2=1$，曲线 $C_2:|y|=|x|+1$.$P$ 是平面上一点，若存在过点 $P$ 的直线与 $C_1,C_2$ 都有公共点，则称 $P$ 为“$C_1—C_2$ 型点”.

(1)在正确证明 $C_1$ 的左焦点是“$C_1—C_2$ 型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；

(2)设直线 $y=kx$ 与 $C_2$ 有公共点，求证 $|k|>1$，进而证明原点不是“$C_1—C_2$ 型点”；

(3)求证：圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 内的点都不是“$C_1—C_2$ 型点”.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（定义理解）：
   • 先求出 $C_1$ 的左焦点 $F$。由 $a^2=2,b^2=1$ 得 $c^2=3$，故 $F(-\sqrt{3},0)$。
   • 寻找一条直线同时穿过双曲线和折线 $C_2$。最简单的尝试是过焦点的竖直直线 $x=-\sqrt{3}$。
2. 第二问（原点判定）：
   • 证明 $|k|>1$：联立 $y=kx$ 与 $|y|=|x|+1$，得到 $(|k|-1)|x|=1$。要有解，系数必须大于 0。
   • 反证/排他：联立 $y=kx$ 与双曲线 $C_1$，要有解，需满足 $k^2<\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2}$（利用渐近线斜率限制）。由于满足 $C_2$ 的 $k^2>1$ 与满足 $C_1$ 的 $k^2<1/2$ 矛盾，故原点不符合条件。
3. 第三问（圆内点证明）：
   • 核心逻辑：采用否定性证明。设直线 $l$ 过圆内一点 $P$，若 $l$ 与 $C_2$ 交于点 $(t,t+1)$，建立 $l$ 的方程。
   • 约束一（圆内性）：利用点到直线距离 $d<r=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 建立关于参数的不等式 ①。
   • 约束二（与 $C_1$ 有交点）：联立 $l$ 与 $C_1$，令 $\Delta \ge 0$ 得到不等式 ②。
   • 逻辑碰撞：通过代数变形证明 ① 与 ② 无法同时满足，从而证明不存在这样的直线。

✅【答案】

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$x=-\sqrt{3}$；$|k|>1$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 曲线 $C_1:\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 中，$a^2=2,b^2=1$，则 $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3}$。 左焦点为 $F(-\sqrt{3},0)$。 取直线 $x=-\sqrt{3}$，其与 $C_1$ 的交点为 $(-\sqrt{3},\pm \frac{\sqrt{2}}{2})$； 其与 $C_2$ 的交点为 $(-\sqrt{3},\pm (\sqrt{3}+1))$。 由于直线与两条曲线均有公共点，符合定义。 故直线方程可以为：$x=-\sqrt{3}$（答案不唯一）。

（2）证明： 直线 $y=kx$ 与 $C_2:|y|=|x|+1$ 有公共点， 则 $|kx|=|x|+1⟹(|k|-1)|x|=1$。 因为 $1>0$ 且 $|x|\ge 0$，所以必须满足 $|k|-1>0$，即 $|k|>1$。

若直线 $y=kx$ 与 $C_1:\frac{x^2}{2}-y^2=1$ 有公共点， 联立得 $\frac{x^2}{2}-k^2{x}^2=1⟹(1-2k^2)x^2=2$。 要有解，必须 $1-2k^2>0⟹k^2<\frac{1}{2}$。 这与 $|k|>1$（即 $k^2>1$）矛盾。 对于过原点的竖直直线 $x=0$，可知与 $C_1$ 无交点。 综上，不存在过原点的直线与 $C_1,C_2$ 都有公共点，故原点不是“$C_1—C_2$ 型点”。

（3）证明： 设直线 $l$ 与曲线 $C_2$ 交于点 $(t,t+1)$（根据对称性不妨设 $t\ge 0$）。 设直线 $l$ 的斜率为 $k$，则 $l:y-(t+1)=k(x-t)⟹kx-y+(1+t-kt)=0$。 若 $l$ 过圆 $x^2+y^2=\frac{1}{2}$ 内的一点，则圆心 $(0,0)$ 到 $l$ 的距离 $d<\frac{\sqrt{2}}{2}$： $\frac{|1+t-kt|}{\sqrt{k^2+1}}<\frac{\sqrt{2}}{2}⟹(1+t-kt{)}^2<\frac{1}{2}(k^2+1)\dots \dots \text{(1)}$

若直线 $l$ 与曲线 $C_1$ 有交点，联立 $y=kx-(kt-t-1)$ 与 $\frac{x^2}{2}-y^2=1$： $(k^2-\frac{1}{2})x^2+2k(1+t-kt)x+[(1+t-kt{)}^2+1]=0$ 由 $\Delta \ge 0$ 化简得： $(1+t-kt{)}^2\ge 2(k^2-\frac{1}{2})=2k^2-1\dots \dots \text{(2)}$

由 ①② 联立：$2k^2-1\le (1+t-kt{)}^2<\frac{1}{2}(k^2+1)$。 解得 $2k^2-1<\frac{1}{2}{k}^2+\frac{1}{2}⟹\frac{3}{2}{k}^2<\frac{3}{2}⟹k^2<1$。 但此时，因为 $t\ge 0,k^2<1$，由 ① 式左边 $(1+t(1-k){)}^2\ge 1$（因为 $1-k$ 与 $1+k$ 至少有一个为正，或直接考虑 $k\in (-1,1)$ 时 $1-k>0$）， 而 ① 式右边 $\frac{1}{2}(k^2+1)<1$。 出现 $1\le (\text{左边})<(\text{右边})<1$ 的矛盾。 当 $k^2=1/2$ 时，代入检测亦不成立。 综上所述，圆内的点都不是“$C_1—C_2$ 型点”。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：新定义问题的逻辑拆解；直线与双曲线交点的判别式条件。

核心方法：“判别式法 + 不等式挤压”。通过两个图形的约束条件建立关于斜率 $k$ 的不等式链，利用范围的空集来证明不存在性。

避坑指南：压轴题计算量极大，第三问中关于 $t$ 的讨论要抓住 $t\ge 0$ 和距离圆心的限制，避免陷入纯字母运算的泥潭。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：点到直线距离公式、一元二次方程根的分布、二次不等式的综合证明。

结论推广：双曲线的渐近线是分割平面区域的重要界限。过双曲线“内侧”（含焦点的区域）的点往往能构造出更多与双曲线有交点的直线。

方法推广：“判别式法 + 不等式挤压”。通过两个图形的约束条件建立关于斜率 $k$ 的不等式链，利用范围的空集来证明不存在性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题
• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2025-上海卷-15 单-双曲线的性质
• 2015-新课标II卷文-15 填-双曲线
• 2015-新课标I卷文-16 填-双曲线