2015-新课标I卷文-16 填-双曲线

本题导读

填空压轴。$|PF|$ 用定义换成 $|P{F}^{\prime }|+2a$ 后，周长最小变成”$P$ 在线段 $A{F}^{\prime }$ 上”；解出 $P$ 后用坐标公式算面积。

📌【题干】

Question

（2015年新课标I卷(文)） 已知 $F$ 是双曲线 $C:x^2-\frac{y^2}{8}=1$ 的右焦点，$P$ 是 $C$ 左支上一点，$A\left(0,6\sqrt{6}\right)$，当 $△APF$ 周长最小时，该三角形的面积为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 左焦点 $F^{\prime }(-3,0)$，由定义 $|PF|=|P{F}^{\prime }|+2a=|P{F}^{\prime }|+2$。
2. 周长 $=|AP|+|P{F}^{\prime }|+2+|AF|⩾|A{F}^{\prime }|+2+|AF|$，等号当 $P$ 在线段 $A{F}^{\prime }$ 上时成立。
3. 直线 $A{F}^{\prime }$ 与左支交点即 $P$，求坐标后代面积公式。

✅【答案】

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$12\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

双曲线中 $a=1$，$b^2=8$，$c=3$，故左焦点 $F^{\prime }(-3,0)$，右焦点 $F(3,0)$；$|AF|=\sqrt{3^2+216}=15$.

由双曲线定义（$P$ 在左支）：$|PF|=|P{F}^{\prime }|+2$，故

$△APF\text{周长}=|AP|+|P{F}^{\prime }|+2+|AF|⩾|A{F}^{\prime }|+2+|AF|=32,$

等号当且仅当 $P$ 在线段 $A{F}^{\prime }$ 上时成立.

直线 $A{F}^{\prime }$ 过 $A(0,6\sqrt{6})$ 与 $F^{\prime }(-3,0)$：$y=2\sqrt{6}x+6\sqrt{6}$，即 $y=2\sqrt{6}(x+3)$.

代入 $x^2-\frac{y^2}{8}=1$：令 $P=(-3t,6\sqrt{6}(1-t))$（线段参数化），代入得

$9t^2-27(1-t{)}^2=1⟹9t^2-27t+14=0⟹t=\frac{2}{3}\text{或}\frac{7}{3}.$

取线段上的 $t=\frac{2}{3}$，得 $P(-2,2\sqrt{6})$.

由三角形面积坐标公式：

$S=\frac{1}{2}\left|x_A(y_P-y_F)+x_P(y_F-y_A)+x_F(y_A-y_P)\right|=\frac{1}{2}\left|(-2)(0-6\sqrt{6})+3(6\sqrt{6}-2\sqrt{6})\right|=\frac{1}{2}\times 24\sqrt{6}=12\sqrt{6}.$

故所求面积为 $12\sqrt{6}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的定义与焦点；直线与双曲线相交；三角形面积的坐标表示。

2. 核心方法：“定义转化 + 对称点连线”把最值化为两点间距离；参数化求交点最省力。

3. 避坑指南：① $P$ 在左支，$|PF|=|P{F}^{\prime }|+2a$ 中 $2a=2$ 别丢；② 参数 $t=\frac{7}{3}$ 对应左支另一点但不在 $A{F}^{\prime }$ 线段上（$t>1$），必须舍去；③ 面积用坐标公式（或割补）算，别误用”底乘高”却找错高。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：“圆锥曲线 + 对称最值”是全国卷小题压轴的经典配置：2014 年新课标Ⅰ理 4 题、2016 年全国Ⅰ文 5 题均为同族题，本题是其中综合度最高的一道。

2. 结论推广: 若把 $A$ 改为 $\left(0,2\sqrt{6}\right)$，直线 $A{F}^{\prime }$ 与左支不相交于线段内，周长最小值将改在顶点处取得——“线段与曲线是否相交”是这类题成立的前提，需先验证。

3. 方法推广: 圆锥曲线中含 $|PF|\pm |PQ|$ 的最值：用定义把不同支的焦半径统一到同一焦点，再”两点之间线段最短”收口。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷理-04 单-双曲线标准方程