2013-北京卷文-12 填-线性规划距离

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，以及点到直线的距离公式。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(文)） 设 $D$ 为不等式组 $\{\begin{array}{l}x⩾0,\\ 2x-y⩽0,\\ x+y-3⩽0\end{array}$ 表示的平面区域，区域 $D$ 上的点与点 $(1,0)$ 之间的距离的最小值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. $D$ 的顶点：$(0,0)$、$(0,3)$、$(1,2)$。
2. $(1,0)$ 到 $2x-y=0$ 的垂足 $\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right)$ 满足全部约束，距离 $=\frac{|2\times 1-0|}{\sqrt{5}}$。

✅【答案】

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$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

画出区域 $D$：由 $x⩾0$、$y⩾2x$、$x+y⩽3$ 围成的三角形，顶点为 $(0,0)$、$(0,3)$、$(1,2)$。 候选点比较：

• 到 $(0,0)$：距离 $1$；到 $(0,3)$：$\sqrt{10}$；到 $(1,2)$：$2$。
• 到边界直线 $2x-y=0$（即 $y=2x$）的垂足：由距离公式 $d=\frac{|2\times 1-0|}{\sqrt{2^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$ 垂足坐标为 $\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right)$，检验：$x⩾0$ 成立，$y=2x$ 在边界上，$x+y=\frac{3}{5}⩽3$ 成立，故垂足在区域 $D$ 内，最小距离可以取到。 比较：$\frac{2\sqrt{5}}{5}=\frac{2}{\sqrt{5}}\approx 0.894<1$，所以最小距离为 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划与点到直线的距离

核心方法：区域 $D$ 的边界含 $2x-y=0$，最近点为 $(1,0)$ 到该直线的垂足（须在 $D$ 内），$d=\frac{|2|}{\sqrt{5}}$

避坑指南：最近距离不一定在顶点处：先验证垂足是否落在区域边界段上（$(1,0)$ 到 $y=2x$ 的垂足 $\left(\frac{1}{5},\frac{2}{5}\right)$ 满足全部约束）；直接比较顶点距离会得到错误答案 $1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划区域与距离（北京卷特色）。

结论推广：点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。

方法推广：区域上的点到定点距离最小两步：找候选（顶点与边界垂足）→ 逐个验证可行并取最小。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷文-13 填-线性规划
• 2013-新课标II卷文-03 单-线性规划