2013-北京卷理-09 填-极坐标互化

本题导读

本题考查坐标系与参数方程，以及极坐标系。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 在极坐标系中，点 $(2,\frac{\pi }{6})$ 到直线 $\rho \sin \theta =2$ 的距离等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化点坐标：利用公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，将极坐标点 $(2,\frac{\pi }{6})$ 转化为直角坐标点 $(x_0,y_0)$。

2. 转化直线方程：根据极坐标与直角坐标的转换关系，识别 $\rho \sin \theta$ 对应的直角坐标变量，写出直角坐标方程。

3. 计算距离：在直角坐标系中，计算点到直线的距离。由于转化后的直线往往是水平或铅垂线，直接观察纵坐标或横坐标之差即可。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

第一步：点坐标转换

已知极坐标点 $P(2,\frac{\pi }{6})$，即 $\rho =2,\theta =\frac{\pi }{6}$。

其直角坐标为：

$x_0=\rho \cos \theta =2\cos \frac{\pi }{6}=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$

$y_0=\rho \sin \theta =2\sin \frac{\pi }{6}=2\times \frac{1}{2}=1$

所以，点 $P$ 在直角坐标系下的坐标为 $(\sqrt{3},1)$。

第二步：直线方程转换

已知极坐标方程为 $\rho \sin \theta =2$。

由转换公式 $y=\rho \sin \theta$ 可知，该直线在直角坐标系下的方程为：

$y=2$

这是一条平行于 $x$ 轴的水平直线。

第三步：计算距离

点 $(\sqrt{3},1)$ 到水平直线 $y=2$ 的距离，即为其纵坐标差的绝对值：

$d=|y_1-y_0|=|2-1|=1$

故答案为：1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标转换公式 $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$。

核心方法：“化归思想”。极坐标系下的度量问题（距离、角度、面积）通常优先转化为直角坐标系处理，因为后者更符合人类直观的欧几里得几何习惯。

避坑指南：注意 $\rho \sin \theta =a$ 表示的是水平直线 $y=a$，而 $\rho \cos \theta =a$ 表示的是铅垂直线 $x=a$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标下的两点间距离公式 $d=\sqrt{{\rho }_1^2+{\rho }_2^2-2{\rho }_1{\rho }_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)}$。

结论推广：点 $({\rho }_0,{\theta }_0)$ 到直线 $\rho \sin \theta =a$ 的距离为 $|a-{\rho }_0\sin {\theta }_0|$。

方法推广：涉及圆的极坐标方程（如 $\rho =2a\cos \theta$）时，同样建议化为直角坐标系下的标准圆方程求解位置关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 16.04 距离公式汇总

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
• 2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程
• 2015-湖南卷文-12 填-极坐标方程