2013-广东卷文-14 填-极坐标化参数方程

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化，以及圆的参数方程。

📌【题干】

Question

（2013年广东卷(文)） （坐标系与参数方程） 已知曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho =2\cos \theta$，以极点为原点，极轴为 $x$ 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线 $C$ 的参数方程为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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1. 两边乘 $\rho$：${\rho }^2=2\rho \cos \theta$ → $x^2+y^2=2x$。
2. 配方：$(x-1{)}^2+y^2=1$，圆心 $(1,0)$，半径 $1$。
3. 参数方程 $x=1+\cos \alpha$，$y=\sin \alpha$（$\alpha$ 为参数）。

✅【答案】

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$\{\begin{array}{l}x=1+\cos \alpha ,\\ y=\sin \alpha \end{array}$（$\alpha$ 为参数）

✍【详细解析】

Abstract

对 $\rho =2\cos \theta$ 两边同乘 $\rho$： ${\rho }^2=2\rho \cos \theta .$ 由 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，${\rho }^2=x^2+y^2$，得 $x^2+y^2=2x,即(x-1{)}^2+y^2=1.$ 这是以 $(1,0)$ 为圆心、$1$ 为半径的圆，其参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=1+\cos \alpha ,\\ y=\sin \alpha \end{array}(\alpha 为参数).$ 故答案为 $x=1+\cos \alpha$，$y=\sin \alpha$（$\alpha$ 为参数）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程化参数方程

核心方法：$\rho =2\cos \theta$ → $x^2+y^2=2x$ → $(x-1{)}^2+y^2=1$ → $x=1+\cos \alpha$，$y=\sin \alpha$（$\alpha$ 为参数）

避坑指南：互化用 $x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，${\rho }^2=x^2+y^2$——把 $\rho =2\cos \theta$ 两边乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=2\rho \cos \theta$ 再代；直接把 $\theta =\arccos \frac{\rho }{2}$ 硬代会绕远。圆心 $(1,0)$、半径 $1$ 的圆，参数方程就是”$x=1+\cos$、$y=\sin$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标与直角坐标互化、圆的参数方程（选做题：坐标系与参数方程，广东卷填空题）。

结论推广：${\rho }^2=x^2+y^2$，$\rho \cos \theta =x$；圆 $(x-1{)}^2+y^2=1$ 的参数方程。

方法推广：极坐标方程两边乘 $\rho$ → 化直角坐标（圆心半径）→ 写参数方程。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
• 2013-新课标I卷文-23 解-极坐标方程
• 2014-湖南卷文-12 填-参数方程