2013-北京卷理-18 解-切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义。核心在于构造函数法、导数运算法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 设 $l$ 为曲线 $C:y=\frac{\ln x}{x}$ 在点 $(1,0)$ 处的切线.

(1)求 $l$ 的方程；

(2)证明：除切点 $(1,0)$ 之外，曲线 $C$ 在直线 $l$ 的下方.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（求切线方程）：
   • 对方程 $y=\frac{\ln x}{x}$ 求导。
   • 代入 $x=1$ 得到切线的斜率 $k$。
   • 使用点斜式写出直线方程。
2. 第二问（证明位置关系）：
   • “曲线在直线下方”等价于证明：当 $x>0$ 且 $x\ne 1$ 时，$\frac{\ln x}{x}<x-1$。
   • 构造函数：移项构造 $f(x)=x(x-1)-\ln x$ 或直接构造 $g(x)=x-1-\frac{\ln x}{x}$。
   • 研究单调性：求导找到函数的极值点。通过单调性证明函数在 $x=1$ 处取得最小值 $0$。
   • 得出结论：说明除 $x=1$ 外函数值均大于 $0$，即曲线始终在切线下方。

✅【答案】

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故除切点 $(1,0)$ 之外，曲线 $C$ 在直线 $l$ 的下方

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解： 设 $y=h(x)=\frac{\ln x}{x}$。 根据导数的除法法则： $h^{\prime }(x)=\frac{(\ln x{)}^{\prime }\cdot x-\ln x\cdot (x{)}^{\prime }}{x^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$ 在点 $(1,0)$ 处，切线 $l$ 的斜率 $k=h^{\prime }(1)=\frac{1-\ln 1}{1^2}=1$。 根据点斜式方程，切线 $l$ 的方程为 $y-0=1(x-1)$，即： $y=x-1$

（Ⅱ）证明： 曲线 $C$ 在直线 $l$ 的下方，等价于证明对于所有 $x\in (0,+\infty )$ 且 $x\ne 1$，均有： $\frac{\ln x}{x}<x-1$ 由于 $x>0$，上述不等式等价于 $\ln x<x(x-1)$，即 $x^2-x-\ln x>0$。

令构造函数 $f(x)=x^2-x-\ln x$，其中 $x\in (0,+\infty )$。 求导： $f^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}=\frac{2x^2-x-1}{x}=\frac{(2x+1)(x-1)}{x}$

分析 $f^{\prime }(x)$ 的符号：

• 当 $0<x<1$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，函数 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递减；
• 当 $x>1$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty )$ 上单调递增。

由此可知，函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极小值，也是最小值。 最小值 $f(1)=1^2-1-\ln 1=0$。

因此，当 $x\in (0,1)\cup (1,+\infty )$ 时，$f(x)>f(1)=0$。 即 $x^2-x-\ln x>0$ 恒成立。 这表明除切点 $(1,0)$ 之外，$\frac{\ln x}{x}<x-1$ 恒成立。 故除切点 $(1,0)$ 之外，曲线 $C$ 在直线 $l$ 的下方。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义；利用导数工具分析函数的最值。

核心方法：“差值构造法”。将几何图形的上下关系转化为函数的大小关系，再通过导数研究单调性是解决压轴大题中证明题的标准范式。

避坑指南：在求导过程中，务必准确使用复合函数或除法求导法则。在证明过程中，要明确指出 $x=1$ 是最小值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的凸性（二阶导数判断图象凹凸性）、泰勒展开式的初等背景。

结论推广：函数 $\ln x\le x-1$ 是高中数学中非常著名的切线不等式，本题实际上是该不等式的变形应用。

方法推广：涉及图象位置关系的题目，画出草图能帮助直观判断单调区间和极值点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2026-新高考I卷-04 单-切线方程
• 2025-新高考I卷-12 填-切线方程(缺思路分析)
• 2014-福建卷文-06 单-直线方程