2012-新课标卷文-13 填-导数切线方程

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及切线方程。

📌【题干】

Question

（2012年新课标卷(文)） 曲线 $y=x(3\ln x+1)$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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$y^{\prime }=3\ln x+4$，$y^{\prime }(1)=4$，切线 $y=4x-3$。

✅【答案】

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$y=4x-3$

✍【详细解析】

Abstract

$y=x(3\ln x+1)$，求导：$y^{\prime }=3\ln x+1+3=3\ln x+4$（乘法法则，$x^{\prime }(3\ln x+1)+x\cdot \frac{3}{x}$）。

切点横坐标 $x=1$：$y^{\prime }(1)=3\ln 1+4=4$。

由点斜式：$y-1=4(x-1)$，即 $y=4x-3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的运算法则（乘积）；切线方程

核心方法：先积法则求导 → 代 $x=1$ 得斜率 → 点斜式

避坑指南：①乘积求导别只对 $\ln x$ 求；②切点 $(1,1)$ 在曲线上，直接点斜式，不需要再解 $b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线方程基础题，与 2013 年大纲卷文第 10 题（导数与切线）同族。

结论推广：一般地，$y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线为 $y=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。

方法推广：“在点处”的切线：确认点在曲线上 → 求导代值 → 点斜式，三步一气呵成。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2013-大纲卷文-10 单-导数与切线
• 2013-北京卷理-18 解-切线方程