2013-北京卷理-19 解-椭圆的方程与几何性质

本题导读

本题考查椭圆。核心在于待定系数法、数形结合法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年北京卷(理)） 已知 $A,B,C$ 是椭圆 $W:\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 上的三个点，$O$ 是坐标原点.

(1)当点 $B$ 是 $W$ 的右顶点，且四边形 $OABC$ 为菱形时，求此菱形的面积；

(2)当点 $B$ 不是 $W$ 的顶点时，判断四边形 $OABC$ 是否可能为菱形，并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（面积计算）：
   • 对角线性质：若 $OABC$ 为菱形，则对角线 $AC$ 必须垂直平分对角线 $OB$。
   • 确定位置：$B(2,0)$，则 $OB$ 的中点为 $(1,0)$。故 $A,C$ 的横坐标必为 $1$。
   • 求解坐标：将 $x=1$ 代入椭圆方程求出 $y_A,y_C$，进而得到对角线 $AC$ 的长度。
   • 面积公式：$S=\frac{1}{2}|AC|\cdot |OB|$。
2. 第二问（存在性判定）：
   • 核心条件：若 $OABC$ 为菱形，则 $|OA|=|OC|$ 且 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}$。
   • 代数转化：$|OA|=|OC|$ 意味着 $A,C$ 两点既在椭圆上，又在以 $O$ 为圆心的同一个圆 $x^2+y^2=r^2$ 上。
   • 联立方程：消去 $y$ 得到关于 $x$ 的方程 $\frac{3}{4}{x}^2=r^2-1$。
   • 分类讨论：
     • 若 $x_A=x_C$，则 $\overrightarrow{OB}$ 的方向与 $x$ 轴平行，此时 $B$ 必为顶点。
     • 若 $x_A=-x_C$，则 $AC$ 的中点为原点 $O$，此时 $O,A,B,C$ 无法构成四边形（共线或重合）。

✅【答案】

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不可能

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）解：


因为四边形 $OABC$ 为菱形，且 $B$ 是右顶点 $(2,0)$， 根据菱形对角线互相垂直平分的性质，直线 $AC$ 必垂直平分线段 $OB$。 由于 $OB$ 在 $x$ 轴上，中点为 $(1,0)$，所以直线 $AC$ 的方程为 $x=1$。 将 $x=1$ 代入椭圆方程 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 得： $\frac{1}{4}+y^2=1⟹y^2=\frac{3}{4}⟹y=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ 所以 $A(1,\frac{\sqrt{3}}{2})$，$C(1,-\frac{\sqrt{3}}{2})$，线段 $|AC|=\sqrt{3}$。 菱形 $OABC$ 的面积 $S=\frac{1}{2}|AC|\cdot |OB|=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{3}\cdot 2=\sqrt{3}$。

（Ⅱ）解： 当点 $B$ 不是 $W$ 的顶点时，四边形 $OABC$ 不可能为菱形。理由如下： 假设 $OABC$ 为菱形，则邻边相等 $|OA|=|OC|$。 设 $|OA|=|OC|=r$，则 $A,C$ 两点是圆 $x^2+y^2=r^2$ 与椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的公共点。 由 $\{\begin{array}{l}{y}^2=r^2-x^2\\ \frac{x^2}{4}+y^2=1\end{array}$ 消去 $y$ 得 $\frac{x^2}{4}+r^2-x^2=1$，即 $\frac{3}{4}{x}^2=r^2-1$。

设 $A,C$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$，则 $x_1^2=x_2^2$，即 $x_1=x_2$ 或 $x_1=-x_2$。 ① 若 $x_1=x_2$，由 $A,C$ 在圆和椭圆上且不重合得 $y_1=-y_2$。 此时 $AC$ 的中点在 $x$ 轴上。因为 $OABC$ 为平行四边形，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$。 由于 $y_1+y_2=0$，故 $B$ 点的纵坐标必为 $0$。此时 $B$ 点在 $x$ 轴上，即 $B$ 是椭圆的顶点，与题意矛盾。 ② 若 $x_1=-x_2$，则 $y_1^2=y_2^2$。 若 $y_1=y_2$，则 $AC$ 中点在 $y$ 轴上，同理可推 $B$ 点在 $y$ 轴上，即为顶点，矛盾。 若 $y_1=-y_2$，则 $AC$ 的中点为原点 $O$。此时 $O,A,C$ 三点共线，不能构成四边形。

综上所述，当点 $B$ 不是顶点时，四边形 $OABC$ 不可能为菱形。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的几何对称性；平行四边形与菱形的向量表达 $\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$。

核心方法：“对角线特性法”。利用菱形对角线垂直平分这一几何特性，可以避开复杂的根与系数关系运算，极大简化解析过程。

避坑指南：第二问的逻辑严密性非常重要。必须穷举 $x_1,x_2$ 的所有可能关系（相等或互为相反数）并逐一否定，才能得出完整证明。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线的对称性、向量的线性运算。

结论推广：在中心对称的二次曲线（如椭圆、双曲线）中，以原点为一个顶点的菱形，其对角线必落在对称轴上。

方法推广：涉及几何形状判定，优先利用向量加法的平行四边形法则。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2026-新高考II卷-09 多-圆的方程
• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2014-辽宁卷文-20 解-椭圆方程