2021-甲卷理-15 填-椭圆焦点三角形

本题导读

本题考查定义与几何性质，以及焦点三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2021年甲卷理）已知 $F_1,F_2$ 为椭圆 $C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，$P,Q$ 为 $C$ 上关于坐标原点对称的两点，且 $|PQ|=|F_1{F}_2|$，则四边形 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 的面积为 ________．

🔍【思路分析】

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1. 判定四边形形状：椭圆具有中心对称性。$P,Q$ 关于原点对称，$F_1,F_2$ 也关于原点对称，说明四边形 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 的对角线互相平分，它是一个平行四边形。再结合已知条件 $|PQ|=|F_1{F}_2|$（对角线相等），判定该四边形为矩形。

2. 方法一（定义代数法）：根据矩形性质，$\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。设焦半径 $|P{F}_1|=m,|P{F}_2|=n$。利用椭圆第一定义 $m+n=2a$ 和勾股定理 $m^2+n^2=(2c{)}^2$，通过代数乘法公式 $(m+n{)}^2=m^2+n^2+2mn$ 求出 $mn$ 的值，该值即为矩形的面积。

3. 方法二（面积公式快捷法）：四边形的面积是 $△P{F}_1{F}_2$ 面积的两倍。利用椭圆焦点三角形面积的超级公式 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$（其中 $\theta$ 为顶角 $\angle F_{1}P{F}_2$），代入 $\theta =90^{\circ }$ 瞬间出结果。

✅【答案】

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$8$

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定椭圆基本量：

由椭圆方程 $C:\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$ 可知：

$a^2=16⟹a=4$；

$b^2=4$；

$c^2=a^2-b^2=16-4=12⟹2c=4\sqrt{3}$。

2. 判定四边形 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 的形状：

因为点 $P,Q$ 关于原点 $O$ 对称，且焦点 $F_1,F_2$ 也关于原点 $O$ 对称，

所以线段 $PQ$ 与 $F_1{F}_2$ 互相平分，四边形 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 为平行四边形。

又因为已知 $|PQ|=|F_1{F}_2|$，即对角线相等，

故平行四边形 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 为矩形。

方法一：椭圆定义与代数法（通法）

1. 设 $|P{F}_1|=m$，$|P{F}_2|=n$。

2. 根据椭圆的定义，有 $m+n=2a=8$。

3. 因为 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 是矩形，所以 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。

   在 $\text{Rt}△P{F}_1{F}_2$ 中，根据勾股定理：

   $m^2+n^2=|F_1{F}_2{|}^2=(2c{)}^2=4c^2=48$

4. 利用完全平方公式展开：

   (m + n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$$$$8^2 = 48 + 2mn \implies 64 = 48 + 2mn \implies 2mn = 16 \implies mn = 8

5. 矩形 $P{F}_{1}Q{F}_2$ 的面积 $S=|P{F}_1|\cdot |P{F}_2|=mn=8$。

方法二：焦点三角形面积公式法（巧解）

6. 由前面分析知，$\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$。

7. 矩形的面积 $S=2\times S_{△P{F}_1{F}_2}$。

8. 利用椭圆焦点三角形面积公式 $S_{△}=b^2\tan \frac{\theta }{2}$（其中 $\theta =\angle F_{1}P{F}_2$）：

   $S_{△P{F}_1{F}_2}=b^2\tan \frac{90^{\circ }}{2}=4\times \tan 45^{\circ }=4\times 1=4$

9. 故四边形总面积 $S=2\times 4=8$。

结论：

答案填入 $8$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 圆锥曲线的对称美：看到“关于原点对称的两点”加上焦点，立刻联想**“平行四边形”；再叠加“长度相等”或“角度垂直”的条件，立刻升维成“矩形”**。

  2. 焦点三角形面积公式（必背二级结论）：

     • 椭圆中 $△P{F}_1{F}_2$ 面积 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}$（$\theta$ 为张角）。

     • 双曲线中 $△P{F}_1{F}_2$ 面积 $S=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$。

       熟记此公式能在填空题中节省大量代数计算的时间。

• 规律总结：焦点三角形的“三大件”——椭圆定义（$m+n=2a$）、余弦定理（或勾股定理 $m^2+n^2=4c^2$）、面积公式，它们构成了解决此类问题的完整。

• 避坑指南：在方法一中，容易将 $4c^2$ 误算为 $12$（错把 $c^2$ 当成了 $4c^2$），在此处务必清醒 $c^2=12$，故 $(2c{)}^2=48$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-北京卷理-19 解-椭圆的方程与几何性质
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义