2021-新高考I卷-05 单-椭圆最值

本题导读

本题考查椭圆的第一定义，以及基本不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）已知 $F_1,F_2$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 的两个焦点，点 $M$ 在 $C$ 上，则 $|M{F}_1|\cdot |M{F}_2|$ 的最大值为（ ）

A. 13$B.12$　　　　　　　C. 9$D.6$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化几何条件：根据椭圆的第一定义，椭圆上的点 $M$ 到两个焦点的距离之和等于长轴长，即 $|M{F}_1|+|M{F}_2|=2a$。
2. 提取关键数据：从椭圆方程中读出 $a^2$，从而确定和的数值。
3. 利用代数工具：已知两个正数之和为定值，求其乘积的最大值，首选基本不等式：$mn⩽(\frac{m+n}{2}{)}^2$。
4. 验证成立条件：检查等号成立时（即 $|M{F}_1|=|M{F}_2|$）点 $M$ 的几何位置是否真实存在于椭圆上。

✅【答案】

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长半轴长 $a=3$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定椭圆的基本量 由椭圆方程 $C:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 可知： $a^2=9$，$b^2=4$。 因此，长半轴长 $a=3$。

第二步：应用椭圆的定义 根据椭圆的第一定义，点 $M$ 在椭圆上，则点 $M$ 到两个焦点的距离之和为： $|M{F}_1|+|M{F}_2|=2a=2\times 3=6$。

第三步：利用基本不等式求解 设 $|M{F}_1|=m$，$|M{F}_2|=n$。由距离定义知 $m,n>0$。 根据基本不等式 $mn⩽(\frac{m+n}{2}{)}^2$，代入数值： $|M{F}_1|\cdot |M{F}_2|⩽(\frac{6}{2}{)}^2=3^2=9$。

第四步：判定取等条件 当且仅当 $|M{F}_1|=|M{F}_2|=3$ 时，等号成立。 此时点 $M$ 到两焦点的距离相等，由对称性可知，点 $M$ 位于椭圆短轴的端点处（坐标为 $(0,2)$ 或 $(0,-2)$）。

第五步：得出结论 $|M{F}_1|\cdot |M{F}_2|$ 的最大值为 9。 故正确选项为 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心技巧：牢记“和定积最大”原则。在椭圆中，焦半径之和始终为定值 $2a$，这为基本不等式的使用提供了天然的背景。
2. 规律总结：对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)：

• 焦半径积 $|M{F}_1|\cdot |M{F}_2|$ 的最大值为 $a^2$（此时点 $M$ 在短轴端点）；
• 焦半径积 $|M{F}_1|\cdot |M{F}_2|$ 的最小值为 $b^2$（此时点 $M$ 在长轴端点，计算式为 $(a-c)(a+c)=a^2-c^2=b^2$）。

3. 避坑指南：虽然本题计算简单，但要养成检查取等条件的习惯，确保最值点在曲线轨迹内。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果题目要求求 $|M{F}_1|\cdot |M{F}_2|$ 的最小值，根据上述规律，结果应为 $b^2=4$。
• 思维进阶：对于双曲线 $||M{F}_1|-|M{F}_2||=2a$，已知的是“差为定值”。此时由 $(m-n{)}^2=m^2+n^2-2mn$ 可知，积越小则差的平方越大，因此双曲线中焦半径积没有最大值，最小值为 $c^2$（当点 $M$ 位于顶点时）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷理-09 填-椭圆方程与性质
• 2013-北京卷理-19 解-椭圆的方程与几何性质
• 2013-四川卷理-20 解-椭圆定义