2013-四川卷文-04 单-全称命题否定

本题导读

本题考查全称量词与存在量词，以及命题的否定。

📌【题干】

Question

（2013年四川卷(文)） 设 $x\in \mathbf{Z}$，集合 $A$ 是奇数集，集合 $B$ 是偶数集．若命题 $p:\forall x\in A$，$2x\in B$，则()

A. $\neg p:\exists x\in A$，$2x\in B$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\neg p:\exists x\notin A$，$2x\in B$

C. $\neg p:\exists x\in A$，$2x\notin B$　　　　　　　　　　　　　　　D. $\neg p:\forall x\notin A$，$2x\notin B$

🔍【思路分析】

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1. 量词：$\forall \to \exists$。
2. 论域 $x\in A$ 不变。
3. 结论：$2x\in B$ 否定为 $2x\notin B$。
4. 故 $\neg p:\exists x\in A$，$2x\notin B$ → C。

✅【答案】

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（C）

✍【详细解析】

Abstract

全称命题 $p:\forall x\in A,2x\in B$ 的否定按”$\forall \leftrightarrow \exists$、否结论”两条执行： $\neg p:\exists x\in A,2x\notin B.$ 逐项检验： （A）结论未否定； （B）（D）把论域改成了 $x\notin A$——命题的否定不改变论域，只在同一范围内找反例； （C）量词、结论都正确。 故选 C （背景：$A$ 为奇数集、$B$ 为偶数集时 $p$ 为真——奇数的 $2$ 倍是偶数，其否定 $\neg p$ 为假。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含量词命题的否定

核心方法：$p:\forall x\in A,2x\in B$ 的否定为 $\neg p:\exists x\in A,2x\notin B$ → C

避坑指南：否定全称命题：量词互换（$\forall \to \exists$）且结论否定（$\in \to \notin$），论域不变（仍是 $x\in A$）；把论域改成 $x\notin A$（选项 B、D）是典型错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：全称量词命题的否定。

结论推广：量词互换；结论否定。

方法推广：改量词 → 否结论 → 保持论域不变。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2013-重庆卷文-02 单-命题否定
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• 2014-安徽卷文-02 单-命题否定